Види рівнянь

Mere som dette

Вплив психологічних механізмів мотивації до саморозвитку юнаків

af Дени Ніжинський

Особиста технологічна модель уроку української мови

af Алла Притюпа

Сучаснийвчитель християнської етики

af Світлана Попель

Аналіз уроку

af Тетяна Щербина

Види рівнянь

Найпростіші тригонометричні

Рівняння виду ctg(x)=0

Найпростіші тригонометричні рівняння

$\cot{x}=a:$



$x=arcctg\;a+\pi{n}$, $n\in \mathbb{Z}$.

Рівняння виду tg(x)=0

Найпростіші тригонометричні рівняння

$\tan{x}=a:$



$x=\arctan{a}+\pi{n}$, $n\in \mathbb{Z}$.

Рівняння виду cos(x)=0

Найпростіші тригонометричні рівняння

$\cos{x}=a:$



$-1\leq a\leq 1$ ; $x=\pm \arccos{a}+2\pi{n}$, $n\in \mathbb{Z}$.

Рівняння виду sin(x)=0

Найпростіші тригонометричні рівняння

$\sin{x}=a:$



$-1\leq a\leq 1$; $x=\left(-1\right)^{n}\arcsin{a}+\pi{n}$, $n\in \mathbb{Z}$.

Логарифмічні

Логарифмічні рівняння

Означення. Логарифмічне рівняння — рівняння, в якому змінна знаходиться під знаком логарифма.

$log_{a}{x}=c$, $log_{x}{b}=c$, $a>0$, $b>0$.

Якщо $a<0$, рівняння не має розв’язку.

Методи розв’язання простих логарифмічних рівнянь

За означенням: $\left( log_{a}{x}, a>0 \right) \Leftrightarrow a^c=x$;

За порівнянням: $\left( \log_{a}{x}=\log_{a}{b}, a>0, b>0 \right) \Leftrightarrow x=b$.

Показникові

Показникові рівняння

Означення. Рівняння виду $a^{x}=b$ , де $a>0$ називається показниковим рівнянням.

Методи розв’язування простих показникових рівнянь

• Порівняння основ:$\left( a^n=a^m, a>0 \right) \Leftrightarrow x=m$; Якщо основи рівні, то і показники рівні.
• Порівняння показників:$\left(x^b=y^b, b>0 \right) \Leftrightarrow x=y$; Якщо показники рівні, то і основи рівні.
• За означенням степенів:$\left( a^x=b, a>0, b>0 \right) \Leftrightarrow x=\log_{a}{b}$ .

Степеневі

Степеневі рівняння

Просте степеневе рівняння $x^{n}=a$ при різних значеннях $n$ і $a$ ($n$ - натуральне число):

1. при будь-якому додатному $a$ рівняння$x^n=a$ має єдиний дійний корінь$x=\sqrt[n]{a}$, якщо число $n$ непарне або два дійсних корені $x=\pm \sqrt[n]{a}$ , якщо число $n$ парне;
2. при $a=0$ рівняння $x^n=a$ має тільки один корінь: $x=0$ ;
3. при будь-якому від’ємному $a$ рівняння$x^n=a$ має єдиний дійсний корінь$x=\sqrt[n]{a}$ , якщо $n$ непапне і не має жодного дійсного кореня, якщо $n$ парне.

Квадратні

Неповне квадратне рівняння

Квадратні рівняння (неповні)

Означення. Якщо для рівняння виду$x^2+px+q=0$: $q=0$ або $p=0$, то таке рівняння називається неповним квадратним рівнянням.

• $x^2+px=0$ ;
• $x^2+q=0.$

Неповне зведене квадратне рівняння

Квадратні рівняння (неповні зведені)

Означення. Рівняння виду $x^2+px+q=0$ називається неповним зведеним квадратним рівнянням.

За теоремою Вієта:

$x_1+x_2=-p$;

$x_1\cdot x_2=q$ .

Повне квадратне рівняння

Квадратні рівняння (повні)

Означення. Рівняння виду $ax^2+bx+c=0$ називається повним квадратним рівнянням.

$D=b^2-4ac$ .

• якщо $D\geq 0$ , то рівняння два дійсні корені:

$x_{1,2}=\dfrac{-b\pm \sqrt{D}}{2a}$.

• якщо $D<0$ , то рівняння не має коренів.

Лінійні

Лінійні рівняння

Означення. Рівняння виду $ax+b=0$ називаються лінійними.

• Якщо $a\neq 0$ , то $x=\frac{-b}{a}$ - єдиний корінь;
• Якщо $a=0$ , $b=0$ , то коренем рівняння буде будь-яке дійсне число;
• Якщо $a=0$ , $b\neq 0$ , то рівняння не має коренів.

Главная тема