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af Neftalí Diaz 5 år siden

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continuidad de una función compuesta

La continuidad de una función en un intervalo se define por su comportamiento en todos los puntos dentro de ese intervalo. Para que una función sea continua en un intervalo cerrado, debe ser continua tanto en el intervalo abierto como en los extremos del intervalo.

continuidad de una función compuesta

continuidad de una función compuesta

continuidad de un intervalo

Una función f definida en un intervalo, es continua en el intervalo si: Ø f es continua para todo x tal que Ø f es continua por la derecha en ¨a¨ Ø f es continua por la izquierda ¨b¨
Es decir

Ø f es continua en x= a Ø g es continua en x= f (a) Ø f o g serán continuas en x= a

demostracion
Queremos demostrar que limx->a g [f(x)] = g [f(a)], o sea, por definición de límite, queremos probar que, dado ε>0 existe δ>0 tal que para todo x perteneciente al E*a,δ g[f(x)] perteneciente al Eg[f(a)],ε. Por hipótesis g es continua en f (a) => por definición de continuidad limx->f(a) g(x)=g[f(a)] => por definición de límite, dado ε>0 existe δ>0 tal que... Para todo x perteneciente al E*f(a),δ g(x) pertenece al Eg[f(a)],ε (1) Por hipótesis f es continua en a tenemos por definición de continuidad limx->a f (x) = f (a), es decir que (por definición de límite) si tomamos el número δ de (1), existe α>0 tal que... Para todo x perteneciente al E*a,α f(x) pertenece al Ef(a),δ (2) De (1) y (2) se deduce que: Dado ε>0 existe α>0 / para todo x perteneciente al E*a,α g[f(x)] pertenece al Eg[f(a)],ε.