2. ESTADÍSTICA BIDIMENSIONAL

L'objectiu d'analitzar dues variables quantitatives de manera conjunta és determinar si hi ha alguna relació o covariància entre elles. Això implica verificar si, quan una variable augmenta, l'altra també ho fa o viceversa. Hi han dues possibles fórmules:

oxy = ((sumatori de xi*yi*ni)/N ) - (x*y)

oxy = (sumatori (xi-x) * (yi-y)) / N

Què ens indica el valor de la covariància entre dues variables?

Si oxy > 0

Dependència lineal positiva

Si oxy < 0

Dependència lineal negativa

Si oxy = 0

No hi ha dependència lineal

La correlació és una mesura de la dependència entre dues variables. El coeficient de correlació de Pearson (r) és utilitzat per a quantificar aquesta correlació.

rxy = oxy / ox * oy

oxy és la covariància

ox = arrel quadrada de ((sumatori de xi al quadrat * ni) / N - x al quadrat

N = número total d'individus estudiats

x = mitjana de totes les xi

oy = arrel quadrada de ((sumatori de yi al quadrat * ni) / N - y al quadrat

y = mitjana de totes les yi

Procediment

1. Saber quina és la variable X, i quina és la Y

2. Fer la taula de doble entrada

3. A partir d'aquesta taula crear 3 taules més

La primera és la de la variable X

A les columnes hi situarem xi, xi * ni, xi2 * ni

La segona és la de la variable Y

A les columnes hi situarem yj, yj * nj, yj2 * nj

La tercera és la de la variable bidimensional XY

A les columnes hi situarem els valors (xi,yj), nij, xi * yj * nij

4. Amb l'ajuda d'aquestes taules i la suma total de les seves columnes es pot calcular tots els paràmetres

Mitjana, variància i desviació típica d'X i d'Y

Covariància

Coeficient de correlació lineal de Pearson

En una distribució bidimensional, si s'observa una correlació lineal entre dues variables, es pot utilitzar el coeficient de correlació lineal de Pearson (r) per fer prediccions o estimacions de valors possibles d'una variable.

Per realitzar aquestes prediccions, és necessari calcular una recta de regressió, la qual consisteix en trobar l'equació algebraica de la recta que millor s'ajusti al conjunt de punts de dades.

Hi ha dues rectes de regressió que es calcularan en funció de la correlació i les mitjanes i variàncies de les variables marginals:

La  de Y sobre X

Y = y + (oxy/ox2) * (xi-x)

La de X sobre Y

X = x + (oxy/oy2) * (yj-y)

La selecció de la recta a utilitzar depèn del context del problema. En alguns casos, l'enunciat ja indica quina recta s'ha d'utilitzar, mentre que en altres casos cal deduir-ho a partir de les dades.

Si es demana predir un valor de y donat un valor de x, s'ha d'utilitzar la recta de Y sobre X, ja que aquesta recta aïlla la variable Y.

Si es demana predir el valor de x coneixent la corresponent y, s'ha d'utilitzar la recta de regressió de X sobre Y, ja que aïlla la variable X.

La recta de regressió és aquella que millor s'ajusta a la distribució de punts (núvol de punts).

Per descriure dues variables conjuntament, el primer pas és representar les dades en una taula de freqüències, de manera similar com es fa amb una única variable.

Freqüència absoluta conjunta (nij)

Aquesta frase indica el nombre de vegades que es troba el valor xi de la variable X en la mostra, en relació amb el valor yj de la variable Y.

Propietat: la suma de les freqüències absolutes és igual a n.

Freqüència relativa conjunta (fij)

Fórmula: nij / n

Taula de doble entrada

Es comú utilitzar una taula de contingència per a mostrar els valors d'una distribució estadística bidimensional. En aquesta taula, es registren els resultats d'una variable a la part superior i els valors de l'altra variable a l'esquerra. A cada casella de la taula s'indiquen les freqüències absolutes, relatives o percentatges de les dues variables.

Per distingir les freqüències individuals de cada variable, les anomenarem freqüències marginals. Això ens permetrà obtenir dues distribucions unidimensionals a partir de les distribucions conjuntes.

Freqüència absoluta marginal

Per la X (xi) sería el número de vegades que es repeteix el valor xi sense tenir en compte els valors de la Y, la representem per ni

Per la Y (yj) sería el número de vegades que es repeteix el valor yj sense tenir en compte els valors de la X, la representem per nj.

Freqüències relatives marginals

A partir de les anteriors, i de la mateixa manera, es construiran aquestes freqüències (fi) i (fj)

Les distribucions condicionades es deriven de la distribució conjunta de freqüències. Es tracta de distribucions unidimensionals per a les variables X i Y, que s'obtenen fixant el valor de l'una mentre s'analitza la distribució de l'altra.

Freqüència absoluta condicionada

Per a X(xi) atès que Y(yj) és el nombre de vegades que es repeteix el valor xi tenint en compte només aquells valors en què Y (ij)

ni (j) = nij per a tot i = 1, 2, ..., k

Freqüències relatives condicionades

per a Y (yj) atès que X (xi) és el nombre de vegades que es repeteix el valor ij tenint en compte només aquells valors en què X (xi

n(i)  j = nij per a tot j = 1, 2,..., h.

La dependència estadística és la relació entre dues variables, encara que no sigui exacta. Pot prendre formes com quadràtica, exponencial, lineal o funcional.

La regressió és l'estudi de la dependència estadística entre variables quantitatives, mentre que la correlació és l'anàlisi del grau de dependència entre aquestes variables. L'objectiu principal de la regressió és descobrir la forma en què es relacionen.

El núvol de punts o diagrama de dispersió és un gràfic utilitzat per a detectar relacions de dependència entre dues variables. Es representa els parells de valors en uns eixos de coordenades, amb la variable independent a l'eix X i la variable dependent a l'eix Y. Aquesta representació visual permet identificar possibles correlacions o tendències entre les variables.