Conceptualización de vectores, matrices y determinantes.

La matriz es: un conjunto bidimensional de números o símbolos distribuidos de forma rectangular, en líneas verticales y horizontales, de manera que sus elementos se organizan en filas y columnas.

Tipos de Matrices:

1. Rectangular: Tiene diferentes números de filas y columnas.

2. Fila: Una matriz rectangular, pero con una sola fila.

3. Columna: una matriz rectangular, pero con una sola columna.

4. Nula: matriz cuyos elementos son iguales a cero.

5. Cuadrada de orden n: matriz que tiene el mismo número de filas que de columnas.

6. Diagonal: es un tipo de matriz cuadrada en la que los elementos que no se encuentran en la diagonal principal son iguales a cero.

12. Triangular inferior: a diferencia del tipo anterior, en este tipo de matriz al menos uno de los elementos que están debajo de la diagonal principal son diferentes a cero y todos los que están por encima de ella son iguales a cero.

7. Escalar: es una matriz diagonal en la que todos los elementos presentes en la diagonal principal son iguales.

8. Identidad: se trata de una matriz escalar en la que los elementos de la diagonal principal son iguales a uno, mientras que el resto de los elementos son iguales a cero.

9. Opuesta: es opuesta a otra cuyos elementos tienen un signo contrario a la matriz principal. Es decir, la matriz opuesta a A se denomina -A y todos los elementos del conjunto son contrarios a los elementos de la matriz A.

10. Traspuesta: se trata de la matriz que se obtiene al convertir las filas en columnas. Se utiliza el superíndice t para representarla y su dimensión es n x m.

11. Triangular superior: se trata de una matriz cuadrada en la que al menos uno de los términos que está por encima de la diagonal principal es distinto a cero, y todos los que están situados por debajo a ella son iguales a cero.

Operaciones con matrices (suma, resta, multiplicación)

Suma y resta: Se puede si las matrices tienen la misma dimensión, cada elemento de las matrices puede sumarse con los elementos que coincidan en posición en diferentes matrices. Se debe tener presente: 1. Las matrices compartan la misma dimensión.
2. Sumar o restar los elementos con la misma posición en matrices distintas.

Multiplicación: cumple la propiedad no conmutativa, es decir, importa el orden de los elementos durante la multiplicación. Existen casos llamados matrices conmutativas que sí cumplen la propiedad.
*Sean Ry X dos matrices no conmutativas, implica que: RX ≠ XR
*Sean R'y X' dos matrices conmutativas, implica que: RX = XR
Para multiplicar dos matrices necesitamos que el número de columnas de la primera matriz sea igual al número de filas de la segunda matriz.

División: Se puede expresar como la multiplicación entre la matriz que iría en el numerador multiplicada por la matriz inversa que iría como denominador.

Operaciones elementales sobre matrices

Las operaciones elementales con matrices son las siguientes transformaciones:
*Intercambiar líneas (filas o columnas).
*Multiplicar una línea por un número real diferente de cero
*Obtener una línea al sumarla a otra multiplicada por un número real diferente de cero.
Una sola operación elemental aplicada sobre una matriz identidad da lugar a una matriz elemental, facilita la resolución de sistemas de ecuaciones, transformando matrices aumentadas en matrices escalonadas y triangulares, por el método de Gauss, (o también el método de Gauss-Jordan).

Relación entre sistemas de ecuaciones lineales y matrices

En la teoría general de matrices encuentra una de sus aplicaciones más inmediatas en la resolución de sistemas de ecuaciones lineales con múltiples incógnitas.
Cualquier sistema de ecuaciones lineales puede escribirse siempre en forma matricial de la siguiente forma: A . X = B, donde A es la matriz de los coeficientes, X la matriz de las incógnitas y B la matriz de los términos independientes.

Relación entre la solución de un sistema de ecuaciones lineales con la inversa de una matriz.

La solución de un sistema de ecuaciones lineales es equivalente a resolver la ecuación matricial AX=B
Un procedimiento rápido para la resolución de sistemas de ecuaciones lineales mediante matrices es el llamado método de la matriz inversa. Esta técnica consiste en multiplicar por la izquierda los dos miembros de la expresión matricial del sistema de ecuaciones por la matriz inversa de la de los coeficientes (si existe). De este modo: X=A^-1 . B
Cuando la matriz de los coeficientes no es inversible, el sistema no tiene solución (es incompatible).

Matriz inversa

Se dice que una matriz cuadrada A , es invertible si existe una matriz B con la propiedad de que AB=BA=I, donde I es la matriz identidad . La matriz B es única, la llamamos la inversa de A y la denotamos por A^-1 Esto es, AA^-1 = A^-1A = I.
"Una matriz es invertible si y sólo si su determinante es distinto de cero. Esto es, una matriz tiene inversa si su determinante es no cero."

Métodos para obtenerla.

El método de Gauss

Éste método consiste en ir realizando operaciones elementales en la matriz.
El método de Gauss-Jordan nos permite calcular la matriz inversa de una matriz sin necesidad de calcular el determinante de una matriz y la traspuesta de la adjunta.
Este método se basa en la eliminación gaussiana que aplicamos en la resolución de sistemas de ecuaciones y requiere de los siguientes pasos:
*Construimos una matriz con la matriz de la que queremos calcular la inversa y con la matriz identidad.
*Realizamos operaciones elementales en esta matriz hasta conseguir que la matriz identidad quede en la parte izquierda.
*La matriz resultante en la parte derecha es la inversa de la matriz original.

El método de adjunción

Es la matriz traspuesta, dividida por su determinante, siempre que este no sea cero.
Sea A una matriz cuadrada y regular de dimensión n, entonces la matriz inversa de A , A^-1 , viene dada por
A^-1 = (Adj(A))^T/ lAl
*lAl = determinante de A
*Adj(A) = matriz adjunta o de adjuntos de matriz A
*el exponente T significa trasposición (matriz traspuesta)

Para que exista relación entre la matriz inversa y los determinantes, se debe tener presente:
a22 -a12
A =( ), entonces
-a21 a11
a. A es invertible si y solo si det A diferente a 0
a22 -a12
b. Si det A diferente 0, entonces A-1 = 1/detA ( )
-a21 a11

Ejemplo:
2 4
B = ( )
-2 -5

det B = 2.-5 - (-2).4
= -10- (-8)
= -2 diferente 0
B = es invertible

a22 -a12
B-1 = 1/detB ( )
-a21 a11

-5 -4
= 1/-2 ( )
2 2
5/2 2
= ( )
-1 -1

Propiedad 1
El determinante del producto de matrices es el producto de sus determinantes: lA.Bl = lAl.lBl

Ejemplo:
3 1
A = ( )
2 1

1 2
B = ( )
-1 2

A.B =
3 1 1 2
= ( ) . ( ) =
2 1 -1 2
2 8
= ( )
1 6

lAl = 1
lBl = 4
lA.Bl = 4

Propiedad 2
El determinante de una matriz con alguna fila o columna de ceros es 0.

Ejemplo:
1 0
A = ( )
1 0
lAl = 0

Propiedad 3
Se puede extraer factor común de una fila o columna multiplicando el determinante por el factor.

Ejemplo:
Extraemos el factor común 2 de la segunda fila

l 3 2 3 l l 3 2 3 l
l 2 4 6 l = 2. l 1 2 3 l
l 0 2 1 l l 0 2 1 l

-16 = 2.(-8)

Propiedad 4
Se puede extraer el mismo factor común de n
filas o columnas multiplicando el determinante por el factor elevado a n.

Ejemplo:
Esta propiedad es consecuencia de la propiedad anterior.
Extraemos el factor común 2 de la segunda y la tercera fila:

l 3 2 3 l l 3 2 3 l
l 2 4 6 l = 22 . l 1 2 3 l
l 8 2 2 l l 4 1 1 l

-8 = 22.(-2)

Propiedad 5
Si se cambia el orden de una fila o de una columna, el determinante cambia de signo.

Ejemplo:
Cambiamos el orden de las filas segunda y tercera:

l 3 2 3 l l 3 2 3 l
l 2 4 6 l = (-1). l 8 2 2 l
l 8 2 2 l l 2 4 6 l

-8 = (-1).8

Propiedad 6
Si se cambia el orden de n filas o columnas, el determinante cambia de signo si n es impar.

Ejemplo:
Esta propiedad es una consecuencia de la propiedad anterior.

Cambiamos la primera fila por la segunda y, después, la segunda por la tercera. El determinante debe coincidir (número par de cambios):

l 3 2 3 l l 2 4 6 l
-8 = l 2 4 6 l = l 8 2 2 l
l 8 2 2 l l 3 2 3 l

Propiedad 7
Si una matriz es invertible, el determinante de la inversa es el inverso del determinante: lA-1l= 1/lAl

Ejemplo:
1 0 0
A = ( 0 2 0 )
0 0 3

1 0 0
A-1 = ( 0 1/2 0 )
0 0 1/3

Determinantes:

lAl = 6
lA-1l = 1/6 = 1/lAl

Propiedad 8
El determinante de una matriz es igual al de su traspuesta: lAl = lATl

Ejemplo:

l 1 2 3 l l 1 2 1 l
1 = l 2 3 4 l = l 2 3 1 l
l 1 1 0 l l 3 4 0 l

Propiedad 9
Si una matriz tiene filas o columnas linealmente dependientes, entonces su determinante es 0.

Ejemplo:

l 1 2 3 l
l 2 4 6 l = 0
l 1 2 3 l
Las filas 2 y 3 de la matriz son múltiplos de la primera.

Propiedad 10
El determinante no cambia si se suman filas (o columnas) multiplicadas por números distintos de 0.

Ejemplo:

l 1 1 1 l l 1 11 1 l
-4 = l 2 3 4 l = l 2 3 4 l
l 0 2 0 l l 0 2 0 l

Se ha sumado 5 veces la fila 3 a la fila 1.

Propiedad 11
El determinante de una matriz diagonal es el producto de los elementos de su diagonal.

Ejemplo:

l 1 0 0 l
l 0 3 0 l = 15
l 0 0 5 l

Propiedad 12
El determinante de una matriz triangular es el producto de los elementos de su diagonal.

Ejemplo:

l 1 1 1 l
l 0 3 2 l = 15
l 0 0 5 l

l 1 0 0 l
l 5 3 0 l = 15
l 6 2 5 l