Interpolación Polinomial y Ajuste de Curvas
¿En qué consisten?
Interpolación Polinomial
El problema de la interpolación tiene propiamente tres cuestiones.
Saber si tiene solución o no.
En caso de tenerla, ¿dicha solución es única o existen varias?
Y finalmente métodos de cálculo lo más eficientes posibles.
Consiste en hallar un dato dentro de un intervalo en el que conocemos los valores en los extremos.
Interpolación con un polinomio
de tercer grado.
Ajuste de Curvas
Consiste en encontrar una curva que contenga una serie de puntos y que posiblemente cumpla una serie de restricciones adicionales.
El resultado del ajuste de un conjunto
de datos a una función cuadrática.
Interpolación de Lagrange
Este método es el más explicito para probar existencia de
solución ya que la construye.
Su utilidad se reduce a dar una respuesta formal y razonada,
pues no es eficiente en términos de cálculo (requiere muchas
operaciones y tiene limitaciones técnicas).
Interpolación de Lagrange
El polinomio de Lagrange, es el polinomio que interpola un
conjunto de puntos dado en la forma de Lagrange.
Se quiere encontrar los coeficientes de un polinomio de
grado N.
Que pase por todos los pares de datos (x1,y1), (x2,y2), …(xN+1,yN+1). Los coeficientes se pueden obtener resolviendo el sistema de ecuaciones.
Esta matriz se conoce con el nombre de Vandermonde.
El inconveniente de este método es que si queremos incorporar un nodo nuevo tenemos que rehacer todos los cálculos.
Modelos de Ajuste
de Curvas
Logarítmica
Ajuste logarítmico
Exponencial
Ajuste exponencial
Potencia
Ajuste de potencia
Ajuste de Curvas por
Mínimos cuadrados
Consiste en minimizar los errores entre el modelos de ajuste y los datos.
Linea (recta) de regresión
Los valores de la formula se pueden calcular de esta manera
Ajuste de Curvas por Mínimos Cuadrados
Interpolación por Diferencias
Divididas de Newton
Diferencias Divididas
Los métodos de diferencias divididas sirven para generar sucesivamente aproximaciones polinómicas de grado cada vez mayor.
Fórmula de Diferencias Divididas
Interpolante de Newton
El polinomio de interpolación de Lagrange en los puntos x0, x1, …, xn relativo a los valores y0, y1, …, yn es
Tabla de Diferencias Divididas
Los coeficientes del polinomio anterior son la primera fila de la tabla.
Representación gráfica de la naturaleza recursiva de las diferencias divididas finitas.
Forma práctica de disposición de los cálculos.
Diferencias Divididas de Newton
Con este método, si añadimos un nodo, no hay que rehacer todos los cálculos, sino que se añade una línea más a la tabla anterior en su parte inferior.