Las Matemáticas en Alemania en el Siglo XIX

Reconocido como el "príncipe de las matemáticas"Fue quien efectuó una representación de los números complejos a través de los puntos en el plano. Brindó aportes a la astronomía y física.Estudió el tema del método de mínimos cuadrados, ya considerado por Legendre y Laplace.Uno de sus resultados conocidos fue , f(z)=w=x+yi  curva cerrada simple. Otros aportes originales: Geometrías no euclidianas, funciones elípticas (tema trabajado por Legendre, y Euler). 

Fue uno de los grandes matemáticos de la época. Estudió en Berlín y fue profesor en la Universidad de Konigsberg.Desarrolló una teoría de funciones elípticas basada en las llamadas “Funciones Theta”, las cuales se construyen por medio de series infinitas.

Asociado a Gauss y JacobiConsiderado “el puente viviente entre matemáticos Alemanes y Franceses”.Profesor de la Universidad de Breslau y ocupó la cátedra de Gauss en Gottingen. Ofreció una prueba rigurosa de la convergencia de la serie de Fourier.Estableció el “principio de Dirichlet” en el cálculo de variaciones. Fue sucedido en Gottingen por Riemann.

Desarrolló la Geometría diferencial de Congruencias. Introdujo los números ideales en la teoría de dominios racionales algebraicos

Escribió varios artículos sobre integrales hiperelípticas y sobre ecuaciones diferenciales algebraicasContribuyó notablemente a fundamentar la teoría de las funciones complejas sobre series de potencias Una de sus contribuciones: “principio de prolongación analítica”: definiendo una función analítica como una serie de potencias (útil en solución de ecuaciones diferenciales en física matemática)Aportó gran atención a establecer rigor en la teoría de funciones y en el cálculo de variaciones (nociones de mínimo de una función, derivada, continuidad, etc.)Descubrió que una función continua sobre un intervalo cerrado sobre el eje real puede expresarse en ese intervalo como una serie de polinomios absoluta y uniformemente convergenteIncluyó funciones de varias variables

Hizo contribuciones en las funciones elípticas, en la teoría de ideales y en la aritmética de las formas cuadráticasDefendió por la aritmetización de las matemáticas: decía que las matemáticas debían estar basadas en los números naturales Rechazó la idea de infinito actual y aceptó la definición de una entidad matemática sólo si ésta podía ser verificada en un número finito de pasos

Realizó su tesis sobre las funciones: u+iv=f(+iy), la cual condujo a las superficies de Riemann.Presentó dos artículos: uno sobre series trigonométricas y los fundamentos del análisis y otro sobre los fundamentos de la geometría.Introdujo el concepto de Integral de RiemannDio ejemplos de una función continua son derivadas

Hubo una disputa entre Kronecker y Cantor en torno a la aceptación del infinito actual, en donde las teorías de Cantor ganaron la aceptación. 

Sophus Lie(matemático noruego), Klein y Camille Jordan (matemático francés) iniciaron el estudio de la teoría de grupos y los trabajos de Galois. Klien se centró en la aproximación de grupos discontinuos  y Lie en las transformaciones continuas y sus invariantes. La idea del “Programa de Erlanger” fue considerar que cada geometría era una teoría de los invariantes de un grupo específico de transformaciones, estas se obtenían al ampliar o reducir el grupo. Otra de las contribuciones de Klien fue que potenció la enseñanza y la investigación de alta calidad en Gottingen, en la tradición de los grandes matemáticos del siglo XIX como Gauss, Dirichlet, y Riemman, y logró convertir esta universidad otra vez en la Meca de las matemáticas occidentales. 

Profesor en esa Meca de las matemáticas de la época en Gottingen.