Presentazione sui sistemi di numerazione TPSIT di Pasquato Devis

Binario Esadecimale Decimale
0 0 0
1 1 1
10 2 2
11 3 3
100 4 4
101 5 5
110 6 6
111 7 7
1000 8 8
1001 9 9
1010 A 10
1011 B 11
1100 C 12
1101 D 13
1110 E 14
1111 F 15

Si chiama sistema di numerazione l’insieme di un
numero finito di simboli e delle regole che assegnano uno
ed un solo significato ad ogni scrittura formata coi simboli
stessi.
I simboli di un sistema di numerazione prendono il nome
di cifre.
Il sistema di numerazione più noto è il sistema decimale
che si avvale dei dieci simboli (o cifre) 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9

Per convertire da base 10 a base X:
Dividere il numero da convertire per la base X fino a quando il quoziente è minore della base stessa (X), dopodiché il numero convertito si ottiene riscrivendo dall’ultimo resto e partendo dall’ultimo fino al primo.

Per convertire in "Base 10" un numero rappresentato in una qualsiasi "BASE X", bisogna procedere nel seguente modo:

Sommare le cifre del numero moltiplicate per la base X elevata alla potenza della posizione che occupa la cifra.

Osservando si nota che la conversione dalla base 2 alla base 16 e/o 8, e viceversa,è più semplice e veloce di quella da decimale ad altre basi.

Infatti basta considerare che per rappresentare le sedici cifre diverse del codice esadecimale occorrono 4 bit (2^4 = 16) mentre per rappresentare le otto cifre diverse del codice ottale occorrono 3 bit (2^3 = 8).

Ne risulta che per convertire un numero binario in esadecimale o in ottale, è sufficiente raggruppare le cifre binarie rispettivamente in gruppi di quattro o tre cifre (bit) a partire da destra verso sinistra: si ricava immediatamente il numero grazie alla sostituzione dei bit così ricavati con la cifra esadecimale o ottale corrispondente.

Analogamente si procede per la conversione dalla base 16 e/o 8 alla base 2.
Si "traducono" le lettere e/o numeri della base esadecimale nella base in cui si vuole trasformare, poi si organizza tutto nell'ordine in cui sono state tradotte le cifre e si avrà la conversione finalizzata.

Un numero non intero può essere
rappresentato in infiniti modi quando utilizziamo
la notazione esponenziale:
Esempio
34.5 = 0.345 · 10^2
= 0.0345 · 10^3
= 345 · 10^-1
Questo formato prende il nome di floatingpoint
(virgola mobile)
Essendo infinite le rappresentazioni è
necessario sceglierne una di riferimento
(rappresentazione normalizzata)

Esempio: Il formato floating point standard IEEE
P754 (precisione semplice)
Mantissa: 23 bit, prima cifra sign. alla sx, hidden bit
Esponente: 8 bit, eccesso 127
Formato:
S E M
Mantissa normalizzata:
± (s) 1. 23 bit di rappresentazione per la mantissa (M)
0: segno +
1: segno -
E = esp + 127
⇒ esp = E - 127 (-126≤ esp≤ 127)
NB : data la rappresentazione IEEE
si ha
N = (-1)
S * 2(E – 127) * 1.M

SOMMA
0+0=0
0+1=1
1+0=1
1+1=0 con riporto 1

SOTTRAZIONE
0-0=0
1-1=0
1-0=1
0-1=1 con prestito 1

MOLTIPLICAZIONE
0*0=0
1*0=0
0*1=0
1*1=1

DIVISIONE
per dividere il numero 111100 con il numero binario 100
Abbassiamo le prime tre cifre del dividendo 111 e dividiamo per 100. Il risultato è 1. Moltiplichiamo 1 per 100 e otteniamo 100. Eseguiamo 111 - 100 = 11.
Abbassiamo la quarta cifra del dividendo 1 e dividiamo 111 per 100. Il risultato è Moltiplichiamo 1 per 100 e otteniamo 100. Eseguiamo 111 - 100 = 11.
Abbassiamo la quinta cifra del dividendo 0 e dividiamo 110 per 100. Il risultato è 1.Moltiplichiamo 1 per 100 e otteniamo 100. Eseguiamo 110 - 100 = 10.
Abbassiamo l'ultima cifra del dividendo 0 e dividiamo 100 per 100. Il risultato è 1. Moltiplichiamo 1 per 100 e otteniamo 100. Eseguiamo 100 - 100 = 0.
Quindi la divisione tra 111100 e 100 è uguale a 1111.

ADDIZIONE
Partiamo dall'addizione:
364+315 =
Come nelle normali addizioni, si inizia dalle unità:
UNITA':4+5=9 9:8=1 col resto di 1 il resto formerà il nostro numero, mentre il risultato della divisione è il riporto, cioè ciò che dovremmo aggiungere alla somma successiva.
314+
315=
__1
DECINE: 1+1=2+1(riporto)=3 3:8=0 col resto di 3
314+
315=
_31
CENTINAIA: 3+3=6+0 (riporto)=6 6:8=0 col resto di 6 quindi la nostra somma
314+
315=
631

A = 10
B = 11
C = 12
D = 13
E = 14
F = 15

Superato il 15 tornare a 0 e ricominciare il giro, come in una somma generando un riporto di 1 alla cifra precedente.
Incolonnare gli addendi:
147AD +
65432 =
-------
79BDF
Analizzare gli addendi colonna per colonna:
D + 2 = F
A + 3 = D
7 + 4 = B
4 + 5 = 9
1 + 6 = 7