Déterminants - Carte Mentale

$Déterminants$

Déterminants

Usages

Systèmes de Cramer

Inversibilité et inversion de matrices

Diagonalisation

Calculs d'hypervolumes

Déterminants d'endomorphismes
(lien avec les automorphismes)

Déterminants de familles de vecteurs
(lien avec les bases)

Calculs

Calculs

Matrices particulières

$Matrices triangulaires$

Matrices triangulaires

$Matrices diagonales$

Matrices diagonales

$Matrices triangulaires par blocs (A et B sont carrées !)$

Matrices triangulaires par blocs
(A et B sont carrées !)

$Exemple$

Exemple

${\color{yellow}\det(A\times B) = \det(A)\times\det(B)}$

Conséquence : det(A)=0 si et seulement si les colonnes de A forment une famille liée (fin de la preuve).

Alternée

$Si on échange deux colonnes, le dét change de signe$

Si on échange deux colonnes, le dét change de signe

$Conséquence 1 : on ne change pas la valeur du dét si on ajoute à une col. un multiple d'une autre.$

Conséquence 1 : on ne change pas la
valeur du dét si on ajoute à une col.
un multiple d'une autre.

$Exemple$

Exemple

Conséquence 2 : det(A)=0 si et
seulement si les colonnes de A
forment une famille liée.
(début preuve)

$donc matrice inversible$

donc matrice inversible

$Ainsi, toutes les propriétés qui sont vraies pour les colonnes le sont aussi pour les lignes !$

Ainsi, toutes les propriétés
qui sont vraies pour les colonnes
le sont aussi pour les lignes !

Multilinéarité

$Effet dilatation d'une colonne$

Effet dilatation d'une colonne

$\det(C_1,\lambda C_2,C_3)=\lambda\cdot\det(C_1,C_2,C_3)$

$Exemple$

Exemple

Cas général d'une combi. linéaire
(rare dans les calculs)

$\det(C_1,\lambda C_2+C_2',C_3)=\lambda\cdot\det(C_1,C_2,C_3)+\det(C_1,C_2',C_3)$

$Exemple$

Exemple

$Rem : si toutes les colonnes sont dilatées$

Rem : si toutes les colonnes sont dilatées

Formule de développement selon une ligne

$Développement selon la ligne n°i (rare dans les calculs)$

Développement selon la ligne n°i
(rare dans les calculs)

Rem : si i=1, c'est la formule de
récurrence de la définition

$Matrice « damier »$

Matrice « damier »

$Exemple$

Exemple

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