Funciones, Modelos y Limites
Continuidad
En un sentido informal, una función se describe como continua si puede graficarse sin
levantar la pluma o el lápiz del papel (es decir, no tiene brechas, ni saltos, ni
interrupciones). La mayor parte de las funciones que examinarán en cálculo serán
funciones continuas. La figura 5 indica las gráficas de cuatro funciones distintas. Las
descritas en la figura 5.a y 5.b son continuas porque pueden trazarse sin levantar el lápiz
del papel. Las figuras 5.c y 5.d no son continuas a causa de las “interrupciones” de las
funciones. Una función que no es continua recibe el nombre de discontinua. En seguida se
da una definición más formal de la propiedad de la continuidad.
Limites al infinito
A menudo se desea conocer el comportamiento de una función conforme aumenta la
variación independiente sin límite alguno (“aproximándose” al infinito, tanto positivo
como negativo). Examínese las dos funciones trazadas en la figura 3. En la Figura 3a, al
acercarse x al infinito negativo, f(x) se aproxima al valor de 4 pero sin alcanzarlo nunca, también puede afirmarse que f(x) tiene una asíntota horizontal que es y=4 conforme x se
acerca -∞. También, esto significa que f(x) se aproxima a un valor de 4, aunque sin
alcanzarlo nunca, a medida que x se acerca a -∞.
Limites indeterminados y determinados
Para hallar el límite de una función continua en x = a, o se quiere hallar un
límite cuando x tiende hacia ± ∞ , se deben aplicar unas reglas.
Un límite determinado es un número real, o bien ∞ , o + ∞ . En otro caso es
indeterminado. Los tipos de indeterminaciones son los siete siguientes. SE representan
entre corchetes.
Limite de funciónes
En el cálculo a menudo se desea conocer el valor del límite de una función a medida que la
variable independiente se aproxima a un número real específico. Este valor límite, cuando
existe, recibe el nombre de límite. Se dispone de varios procedimientos para determinar el límite de una función. La
tentación nos lleva a sustituir simplemente el valor x =a en f(x) y a determinar f(a). En
verdad se trata de una forma válida de determinar el límite de muchas funciones, pero no
de todas.
Concepto de función.
El concepto de función retoma conocimientos básicos de matemáticas transformándolos
en una estructura, la cual es base del cálculo. Este concepto se ocupa de relacionar cada
uno de los elementos de un conjunto con elementos de otro.
Representación de una función
Sagital
La representación sagital de una función hace uso de la representación gráfica de los
conjuntos, en donde se limita una región a través de una curva cerrada o un rectángulo,
separados simbólicamente de esta forma a un conjunto universo. Así la representación
sagital se ha colocando un par de conjuntos con sus elementos, asociando cada elemento
con su correspondiente a través de una flecha.
Gráfica
Para la representación de una función puede también hacerse uso del plano cartesiano,
construyendo parejas ordenadas de la forma (x,y) en donde x es el argumento y y es su
imagen respectivamente. Este tipo de representación resulta ser particularmente útil
cuando las variables relacionadas son numéricas y continuas.
Analítica
Tal vez la mejor manera de representar las funciones con conjuntos numéricos sea a
través de una ecuación, es decir, una igualdad que relacione a las dos variables que
intervienen.
Definición de Función
Sean A y B dos conjuntos, definimos una función f de AaB como toda relación entre los
elementos de A con los elementos de B, tal que a cada elemento de A le haya de
corresponder un único elemento de B.
Lo anterior se representa como:
f : A → B
Clasificación de Funciones
Función cúbica
Como su nombre lo indica, la expresión analítica es un polinomio de tercer grado. Posee la
forma f x = ax + bx + cx + d
3 2
( ) a ≠ 0
Dependiendo de los parámetros a, b, c y d, la gráfica de una función cúbica varía.
Función cuadrática
Es de la forma: f x = ax + bx + c
2
( ) a ≠ 0
Su lugar geométrico corresponde a una parábola con eje de simetría paralelo al eje y.
El dominio es también ℜ , ya que x puede tomar cualquier valor.
Funciones racionales
Una función racional f es una razón de dos polinomios, es decir,donde P(x) y Q(x) son polinomios. El dominio consta de todos los valores de x tales
que Q(x) ≠ 0 .
Es importante que en esta definición se resalte lo siguiente:
1. La existencia de dos conjuntos, y que éstos guarden un orden (primer conjunto A y
segundo B). Además, que exista una asociación entre los elementos del primero
con los elementos del segundo.
2. También es necesario, para la existencia de una función, que para cada elemento
del primer conjunto sólo se le asocie un único elemento del segundo conjunto.
Cabe aclarar que lo inverso no es necesario. Es decir, dos o más elementos
distintos de A pueden estar asociados al mismo elemento en B.
3. Todos los elementos del primer conjunto A tiene un correspondiente asociado en B
y, sin embargo, lo opuesto no es necesario. Es decir, pudieran quedar elementos
no relacionados en el segundo conjunto, como una especie de excedente.
Las funciones se clasifican también según el tipo de expresión que aparece en la regla de
correspondencia. Es ésta la que le da el nombre a la función.
OTROS MODELOS DE FUNCIONES
1. Identidad
2. Constante
3. Lineal
4. Exponencial
5. Logarítmica
6. Polinomial
Sean f y g dos funciones, y verificamos que existen lím f (x) x→c y lím g(x) x→c
entonces:
1. Límite de una función constante
2. Límite del producto de una constante por una función.
lím kf (x) k lím f (x)
x→c x→c
=
3. Límite de la suma de funciones.
lím[f (x) g(x)] [lím f (x)] [lím g(x)]
x→c x→c x→c
+ = +
4. Límite de la diferencia de funciones.
lím[f (x) g(x)] [lím f (x)] [lím g(x)]
x→c x→c x→c
− = +
5. Límite del producto de funciones.
lím[f (x)g(x)] [lím f (x)][lím g(x)]
x→c x→c x→c
Algunas propiedades de
limites y continuidad.
Si el valor de la función se aproxima al mismo número L
conforme x se acerca hacia a desde ambas direcciones, entonces el límite es igual a L.
