LA CIRCONFERENZA

un triangolo è sempre inscrittibile e circoscrittibile in una circonferenza di centro C.
il centro della circonferenza circoscritta si chiama circocentro;
il centro della circonferenza inscritta si chiama incentro;

circocentro
punto di intersezione degli assi dei lati del triangolo

raggio della circ. circoscritta= (lAxlBxlC)/4A(ABC)

incentro
punto di intersezione delle bisettrici degli angoli del triangolo

raggio della circ. inscritta= A(ABC)/P

P=semiperimetro
2P=perimetro

angoli alla circonferenza

è un angolo che ha per centro un punto della circonferenza

angoli al centro

èun angolo che ha per centro il centro della circonferenza

una retta r che non ha nessun punto in comune con la circonferenza è detta esterna, e d(O,r)>raggio

una retta r che ha due punti in comune con la circonferenza è detta secante, e d(O,r)<raggio

una retta r che ha un punto in comune con la circonferenza è detta tangente, e d(O,r)=raggio

rette tangenti passanti per un punto esterno

teorema
data una circonferenza di centro O e un punto P esterno alla circonferenza, se traccio le tangenti alla circonferenza, passanti per il punto P, si ha:
i segmenti che congiungono il punto P con i punti di tangenza sono congruenti
la semiretta PO è bisettrice dell'angolo che ha per vertice P e lati le semirette contenenti i punti di tangenza
la semiretta OP è la bisettrice dell'angolo che ha per vertice O e lati le semirette passanti per i punti di tangenza
gli angoli formati dalle tangenti e il raggio che ha per estremo O e il punto di tangenza, sono angoli retti

un poligono inscritto in una circonferenza significa che ha tutti i vertici appartenenti alla circonferenza

un poligono circoscritto ad una circonferenza significa che ha tutto i suoi lati tangenti alla circonferenza

teoremi

teorema 1
un quadrilatero è inscrivibile in una circonferenza se e solo se gli angoli opposti sono supplementari

la dimostrazione è divisa in due parti

1 parte
H) ABCD inscritto
T) A+C=180°; B+D=180°

2 parte
H) A+C= 180°; B+D=180°
T) ABCD inscrivibile (si dimostra per assurdo)

teorema2
un quadrilatero è circoscrittibile se e solo se la somma di due lati opposti è congruente alla somma degli altri due

la dimostrazione è divisa in due parti

1 parte
H)ABCD circoscritto
T)AB+CD=BC+AD

2 parte
H)AB+CD=BC+AD
T)ABCD circoscrittibile (si dimostra per assurdo)

che cos'è un luogo geometrico
è l'insieme dei punti del piano che soddisfano tutti ad una stessa proprietà chiaramente enunciata

per un punto P passano infinite circonferenze con centro un qualsiasi punto del piano e raggio il segmento che congiunge il centro al punto P.

per due punti distinti; P, Q, passano infinite circonferenze con centro appartenente all'asse del segmento PQ e raggio il segmento che ha per estremi un punto dell'asse e un estremo del segmento PQ

per tre punti distinti e non allineati passa una e una sola circonferenza che ha come centro il punto di intersezione degli assi di due segmenti che hanno per estremi i punti distinti

segmento circolare ad una base: è la parte di cerchio racchiusa da un arco e la corda che congiunge gli estremi dell'arco, quindi per definizione una corda divide il cerchio in due segmenti circolari ad una base

segmento circolare a due basi: è una qualsiasi parte del cerchio delimitato da due corde parallele e due archi.

settore circolare: è la porzione di un cerchio racchiusa da due raggi e da un arco di circonferenza.

corda: di una circonferenza: è un segmento che ha per estremi due punto della circonferenza

teoremi

in una circonferenza il diametro è maggiore di ogni corda che non sia un diametro

in una circonferenza se un diametro e una corda sono perpendicolari il diametro divide a metà:
la corda;
l'angolo al dentro e l'arco che le corrispondono;

in una circonferenza corde congruenti hanno la stessa distanza dal centro e viceversa

diametro: è il segmento che passa per il centro e collega due punti della circonferenza

raggio: è il segmento che congiunge il centro con un qualsiasi punto della circonferenza

arco di circonferenza:è una parte di circonferenza che ha per estremi due punti appartenenti ad essi

due circonferenze possono essere:
esterne
tangenti esternamente
secanti
tangenti internamente
una interna all'altra

poligono regolare:
i poligoni sono regolari quando hanno tutti gli angoli congruenti e tutti i lati congruenti, ovvero sia equiangolo ed equilatero

in un poligono regolare chiamiamo:

centro del poligono
il centro comune della circonferenza inscritta e quella circoscritta;

raggio del poligono
il raggio della circonferenza circoscritta;

apotema del poligono
il raggio della circonferenza inscritta

dato un poligono regolare, esistono la sua circonferenza circoscritta e inscritta e hanno lo stesso centro

la dimostrazione è divisa in tre parti
il centro appartiene ad un lato dell'angolo;
il centro è interno all'angolo;
il centro è esterno al centro;

corollari

corollario 1
angoli alla circonferenza che insistono sullo stesso arco sono congruenti

corollario 2
se un angolo alla circonferenza insiste su una semicirconferenza questo è sempre un angolo retto

NB
un triangolo rettangolo è sempre inscrivibile in una semicirconferenza (circonferenza) con centro il punto medio dell'ipotenusa e raggio 1/2 dell'ipotenusa

un triangolo inscritto in una circonferenza con un lato uguale al diametro è sempre un triangolo rettangolo

se l'angolo alla circonferenza ha un lato tangente alla circonferenza, anche in questo caso il teorema è verificato