Aplicaciones de la derivada al análisis de funciones.
Concavidad y convexidad de una función.
Convexidad
Una funcion es CONVEXA o presenta su concavidad hacia arriba si dados dos puntos de la curva el segmento que los une queda por encima de la curva.
Concavidad
Una función es CÓNCAVA o presenta su concavidad hacia abajo cuando dados dos puntos cualesquiera el segmento que los une queda por debajo de la curva.
Extremos locales.
Para que una función derivable en x0 tenga un extremo local en x0 es necesario que se cumpla f ‘(x0)=0.
Como el crecimiento está determinado por el signo de la derivada tenemos:
x0 es un punto de
•Máximo local si f ‘(x) pasa de positiva a negativa.
•Mínimo local si f ‘(x) pasa de negativa a positiva.
Si f : u ⊂ Rn → R es una función escalar, dado un punto x0 ∈ u se llama mínimo local de f si existe una vecindad v de x0 tal que ∀ x ∈ v f(x) ≥ f(x0). De manera análoga, x0 ∈ u es un máximo local si existe una vecindad v de x0 tal que f(x) < f(x0) ∀ x ∈ v. El punto x0 ∈ u es un extremo local o relativo, si es un mínimo local o máximo
local.
Hallar los máximos y mínimos de la función f : R2 → R, definida por f(x, y) =x2 + y2 − 2x − 6y + 14
Solución: Debemos identificar los puntos críticos de f resolviendo fx = 0, fy = 0 para x, y, fx = 2x − 2, fy = 2y − 6. De modo que el punto critico es (1, 3).Como: f(x, y) = (x2 − 2x + 1) + (y2 − 6y + 9) + 4 = (x − 1)2 + (y − 3)2 + 4
tenemos que f(x, y) ≥ 4 por lo tanto en (1, 3) f alcanza un mínimo relativo.
Puntos de inflexión.
f(x)=x3-3x2+6x-6 ; f(x)=3x2-6x+6 ; f(x)=6x-6 f(x)=0 ; 6x-6=0 = x=1 El punto x=1 es un punto de inflexión, puesto que antes de x=1 la derivada segunda es negativa (convexa) y después de x=1 es positiva (cóncava).
TEOREMA
Sea la ecuación de una función.
Si no existe, y la derivada cambia de signo al pasar por el valor de x=a, entonces, el punto de la función de abscisa x=a es un punto de inflexión.
Un punto de inflexión, en una función matemática, es un punto donde los valores de una función continua en x pasan de un tipo de concavidad a otra. La curva "atraviesa" la tangente.Matemáticamente la derivada segunda de la función f en el punto de inflexión es cero,o no existe.
Crecimiento y decrecimiento de una función.
Funcion Decreciente
• Cuando al incrementarse la variable independiente (x) disminuye el valor de la variable dependiente f(x). •Dada una función "f" y los valores: X1 y X2 del dominio, sera decreciente si: x1>x2 = f(x1)>f(x2)
Funcion Creciente
• Cuando al incrementarse el valor de la variable independiente (x), se incrementa también el valor de la variable dependiente f(x). • Dada la función "f" y los valores: X1 y X2 del dominio, sera creciente si: x1
EJEMPLO
El crecimiento y decrecimiento de una función f se puede estudiar en un intervalo [a,b], en un punto x o en todo el dominio.
