Esperanza Matemática

Aunque la probabilidad y la esperanza matemática fueron formalizadas por Pascal, Fermat y Huygens en el siglo XVII, existen registros de ideas similares en civilizaciones mucho más antiguas.

civilizaciones antiguas y el azar 2000 a. C - 500 d. C

Las primeras manifestaciones del concepto de probabilidad no fueron matemáticas, sino prácticas y relacionadas con juegos de azar y adivinación, sin embargo, mantener presenta que no se trataba como una disciplina matemática, sino como parte de la superstición o la filosofía.

Ejemplo

Egipto y Mesopotamia (2000 a.C.): Usaban dados de hueso y conchas en juegos de azar y para hacer predicciones. Aunque no analizaban probabilidades en términos matemáticos, tenían cierta idea de qué resultados eran más probables.
China (siglo III a.C.): En el "Libro de los cambios" (I Ching), hay nociones rudimentarias de combinaciones y eventos aleatorios.
India (siglo VI d.C.): En textos matemáticos como el Lokavibhaga, hay registros de cálculos sobre combinaciones en juegos de dados.

Edad Media y el Renacimiento 500 - 1500 d. C

A pesar de la influencia del pensamiento religioso en la Edad Media, algunos eruditos comenzaron a desarrollar conceptos más formales relacionados con la probabilidad.

Al-Khwarizmi (siglo IX d.C.): Matemático persa que introdujo el álgebra y discutió temas de combinatoria, fundamentales para el desarrollo de la probabilidad.
Fibonacci (siglo XIII): En su libro Liber Abaci (1202), Fibonacci estudió problemas de combinatoria en juegos de azar, lo que sugiere una comprensión primitiva de la probabilidad.

Luca Pacioli (1447-1517) y el problema de la división de apuestas.

Era un matemático italiano conocido por su obra Summa de Arithmetica (1494), planteó un problema sobre cómo dividir una apuesta cuando un juego se interrumpe antes de terminar.

Ejemplo

Dos jugadores apuestan en un juego en el que el primero que gane 6 rondas se lleva el premio. ¿Cómo dividir el dinero si el juego se interrumpe cuando uno ha ganado 5 rondas y el otro 3?

Error de Pacioli: Propuso dividir el dinero en partes proporcionales a las rondas ganadas hasta el momento, sin considerar las probabilidades futuras de ganar.

Los primeros cálculos formales antes de pascal y fermat siglo XVI - XVII

Galileo Galilei (1564-1642): Analizó matemáticamente juegos de dados y propuso explicaciones sobre la frecuencia de ciertos resultados.

La probabilidad en dados

Galileo estudió juegos de dados y explicó por qué ciertos resultados son más probables que otros.

Ejemplo

¿Por qué al lanzar tres dados es más probable obtener una suma de 10 que una de 9?
Nota: Aunque ambos números tienen la misma cantidad de combinaciones en teoría, los arreglos específicos de números que suman 10 son más frecuentes.

Cardano (siglo XVI): Gerolamo Cardano (1501-1576) fue uno de los primeros en aplicar matemáticamente la probabilidad en juegos de azar. Escribió un manuscrito llamado Liber de Ludo Aleae (Libro de los Juegos de Azar), en el cual discutía la probabilidad de ciertos eventos en los juegos de dados, aunque el libro fue publicado póstumamente en 1663.

Gerolamo Cardano: Pionero de la Probabilidad y la esperanza Matemáticas

Gerolamo Cardano (1501-1576) fue un médico, matemático, astrólogo e inventor italiano del Renacimiento. Se le reconoce como uno de los primeros en estudiar formalmente la probabilidad, décadas antes que Pascal, Fermat y Huygens.

Creador de bases solidas para la estadística básica.

siendo su obra mas relevante en este campo es Liber de Ludo Aleae (Libro de los Juegos de Azar), escrita alrededor de 1564, pero publicada en 1663, definiendo la probabilidad como la razón entre casos favorables y posibles.

Ejemplo

En un dado de 6 caras, la probabilidad de sacar un 3 es 1/6, al igual que en los demás números, osea que cada cara del dado de 6 lado tiene una probabilidad de salir de 1/6.

Idéntica el concepto de esperanza matemática (Liber de Ludo Aleae (Libro de los Juegos de Azar))

Apesar de no formalizarla con una fórmula, entendió la importancia de calcular valores esperados en juegos de azar.

ejemplo

En un juego donde puedes ganar 10 monedas con probabilidad 1/2 y 20 monedas con probabilidad de 1/2, el valor esperado sería:
E(X) = (1/2*10) + (1/2*20) = 5+10=15
Nota: Cardano NO realizo estas formulas no obstante describió el calculo y su importancia en los juegos de azar

Introducción de la "justicia" en los juegos de azar

Cardano fue el primero en hablar sobre juegos justos e injustos, dependiendo de si los jugadores tienen las mismas probabilidades de ganar a largo plazo, osea que un juego es "justo" si cada jugador tiene una ganancia esperada igual al costo de la apuesta, por el contrario un juego es "injusto" cuando un jugador paga más de lo que puede ganar en promedio.

Ejemplo

Juego A: Se apuesta 5 monedas y tenemos una probabilidad de 1/2 de ganar 10 monedas y 1/2 de perder.
E(X)= (1/2*10)+(1/2*0)=5
Dado que el valor esperado es igual al costo de la apuesta el juego es justo.
Juego B: apostamos 6 monedas y tenemos una probabilidad de 1/2 ganar 10 y 1/2 de perder.
E(X)= (1/2*10)+(1/2*0)=5
El valor esperado es 5, pero como pagamos 6 monedas el juego termina siendo injusto.

Análisis de errores comunes en juegos de azar

Advirtió sobre la "la falacia del jugador", es decir, la creencia de que un evento pasado afecta eventos futuros.

Ejemplo

En el lanzamiento de una moneda pensar que despues de sacar 5 veces cara en la siguiente debe salir cruz.

Además de su explicación de como los jugadores suelen "sobreestimar sus probabilidades de ganar"

Ejemplo

La ludopatía o trastorno del juego es el impulso incontrolable de seguir apostando sin importa las consecuencias que eso tenga en tu vida, cosa que se ve muy claro en el siguiente fragmentó de una película llamada en español como "El Apostador":

https://www.youtube.com/watch?v=_VBo7uc1i2k

Thomas Harriot (1560-1621): Matemático inglés que trabajó en combinatoria y probabilidad, aunque no publicó sus hallazgos.

Cálculo de combinaciones y probabilidad

Trabajó en conteos combinatorios al analizar cómo se pueden organizar distintos conjuntos de objetos.
Estudió el problema de los dados, analizando las probabilidades de obtener ciertos resultados al lanzarlos.

Ejemplo

Si se lanzan dos dados, ¿cuántas maneras hay de obtener un total de 7?
Harriot identificó correctamente que hay 6 combinaciones posibles para obtener 7:
(1,6),(2,5),(3,4),(4,3),(5,2),(6,1)
Este tipo de razonamiento combinatorio es fundamental para el cálculo de probabilidades.
Nota: Sus ideas influyeron indirectamente en la teoría de la probabilidad, pero nunca publicó sus hallazgos. Sus notas fueron descubiertas y analizadas tiempo después.

Marin Mersenne (1588-1648): Matemático francés que discutió problemas de probabilidad con varios científicos de su época, lo que ayudó a que Fermat y Pascal tomaran interés en el tema.

El conector intelectual

Fue un gran comunicador entre los matemáticos de su época.
Discutió problemas de juegos de azar con Fermat, Pascal y otros científicos.
Investigó las probabilidades en juegos de dados y otros juegos de azar.

Ejemplo

Si bien Mersenne no publicó grandes teorías de probabilidad, sus correspondencias con Fermat y Pascal los motivaron a desarrollar el concepto de esperanza matemática y el análisis formal de la probabilidad.

Definición

La esperanza matemática, también llamada valor esperado, es un concepto fundamental en probabilidad y estadística que representa el promedio ponderado de los posibles valores de una variable aleatoria, tomando en cuenta sus probabilidades de ocurrencia, en otras palabras es lo que "esperamos" obtener en promedio si repetimos un experimento muchas veces.

Variables Aleatorias Continuas

Una variable aleatoria continua puede tomar infinitos valores dentro de un intervalo.

Ejemplo

La altura de una persona es una variable continua porque puede tomar valores como 170.2 cm, 170.23 cm, 170.231 cm, etc.

Formula

E(X) = ∫ de −∞ hasta ∞ de (x * f(x)) dx

Donde;
E(X): Esperanza matemática o valor esperado de
𝑋. Representa el promedio ponderado de todos los valores posibles de 𝑋.
∫ de −∞ hasta ∞ Integral definida que suma todos los valores posibles de 𝑋 en su dominio. Se usa en lugar de la suma porque 𝑋 puede tomar infinitos valores.
x: Valor especifico que puede tomar la variable aleatoria.
f(x): Función de densidad de probabilidad (f.d.p.) de 𝑋, que describe qué tan probable es que 𝑋 tome un valor cercano a 𝑥.
dx: Diferencial de integración que indica que estamos sumando sobre todos los valores continuos de 𝑋.

Función de densidad de probabilidad

Caracteristicas

No da probabilidades directas: A diferencia de las variables discretas, donde la función de probabilidad 𝑃(𝑋=𝑥) nos dice la probabilidad exacta de un valor, en el caso continuo la probabilidad de un valor exacto es cero. En su lugar, la f.d.p. nos permite calcular la probabilidad de que 𝑋 esté en un intervalo.

Ejemplo

Características

Puede tomar un número infinito de valores dentro de un intervalo.
No se pueden calcular probabilidades de un solo punto P(X=x)=0), sino de intervalos.
Se describe con una función de densidad de probabilidad (PDF, Probability Density Function).

Función de Densidad de Probabilidad (FDP)

Es la función matemática que describe cómo se distribuyen los valores de una variable aleatoria continua, osea la F.D.P nos indica que tan probable es que la variable aleatoria X tome valores en un cierto rango y al integrarla en un intervalo da la probabilidad de que la variable esté dentro de ese rango.
𝑃(𝑎≤𝑋≤𝑏)=∫ de 𝑎 hasta 𝑏 de (𝑓(𝑥))𝑑𝑥

Ejemplo 1

Ejemplo 3: Distribución Uniforme 𝑈(0,1)
Si 𝑋 sigue una distribución uniforme entre 0 y 1, su PDF es:
𝑓(𝑥)={1, 0≤𝑥≤1
0, en otro caso
Para calcular la probabilidad de que 𝑋 esté entre 0.2 y 0.8:
𝑃(0.2≤𝑋≤0.8)= ∫ de 0.2 hasta 0.81 𝑑𝑥 = (0.8−0.2) = 0.6

Ejemplo 2

Supongamos que una variable aleatoria 𝑋 representa el tiempo de espera en minutos para un autobús, que sigue una distribución uniforme entre 0 y 10 minutos.

La f.d.p. de 𝑋 es:
𝑓(𝑥)={1/10, 0≤𝑥≤10
0, en otro caso

¿Cuál es la probabilidad de esperar entre 2 y 5 minutos?
𝑃(2≤𝑋≤5)=∫ de 2 hasta 5 de (1/10) 𝑑𝑥
𝑃(2≤𝑋≤5)=1/10(5−2)=3/10=0.3

Interpretación: Hay un 30% de probabilidad de que el tiempo de espera esté entre 2 y 5 minutos.

Definición Formal

Si 𝑋 es una variable aleatoria continua con función de densidad de probabilidad 𝑓(𝑥), la esperanza matemática se calcula como:
E(X)=∫ desde −∞ hasta ∞ (x*f(x)) dx

Ejemplo

Si 𝑋 representa la altura de personas en una población y sigue una distribución normal, la esperanza matemática 𝐸(𝑋) será la altura promedio de todas las personas.

Variables Aleatorias Discretas

Una variable aleatoria discreta es aquella que solo puede tomar un conjunto finito o numerable de valores específicos.

ejemplo

Supongamos que elegimos una familia al azar y definimos la variable aleatoria 𝑋 como el número de hijos que tiene. Esta es una variable aleatoria discreta porque solo puede tomar valores enteros: 0, 1, 2, 3, ... n (no es posible tener 2.5 hijos).
Suponiendo (de manera hipotética) la distribución de probabilidades de la siguiente manera;
0 hijos = 0.10
1 hijos = 0.25
2 hijos = 0.40
3 hijos = 0.20
4 hijos = 0.05
su calculo de esperanza matemática E(X) es;
E(X)=(0*0.10)+(1*0.25)+(2*0.40)+(3*0.20)+(4*0.05)
E(X)=0+0.25+0.80+0.60+0.20=1.85
La esperanza matemática es 1.85 hijos, pero esto no significa que una familia pueda tener 1.85 hijos en la realidad.
Significa que si tomamos muchas familias y calculamos el promedio de hijos, se acercará a 1.85.

Formula

E(X)=∑ de Xi * P(Xi)

Donde;
E(X) es la esperanza matemática calculada para un evento aleatorio
Xi es Valor específico que puede tomar la variable aleatoria
P(Xi) es probabilidad de que X tome el valor Xi. cada P(X=xi) debe cumplir que 0≤P(X=xi)≤1 y que la suma de todas las probabilidades sea 1
∑ es la sumatoria del producto entre ((Xi * P(Xi))

Caracteristicas

Sus valores son enumerables (se pueden contar uno a uno).
Se pueden describir mediante una función de masa de probabilidad (PMF, por sus siglas en inglés).
La probabilidad de cada valor específico se calcula directamente.

Definición Formal

Si 𝑋 es una variable aleatoria discreta con posibles valores 𝑥1,𝑥2,...,𝑥𝑛 y sus respectivas probabilidades 𝑃(𝑋=𝑥𝑖), la esperanza matemática se define como:
𝐸(𝑋)=∑ n con i=1 de 𝑥𝑖*P(X=𝑥𝑖)

Ejemplo

Supongamos que lanzamos un dado equilibrado de 6 caras. La variable aleatoria 𝑋 representa el número obtenido. Cada número tiene probabilidad 1/6.

E(X)=(1*1/6)+(2*1/6)+(3*1/6)+(4*1/6)+(5*1/6)+(6*1/6)

E(X)=(1+2+3+4+5+6)/6=21/6=3.5

Casos "improbables"

Son aquellos que no pueden ser replicados en la realidad, pero no son anomalías, dado que, la Esperanza Matemática no necesariamente representa un valor que deba ocurrir en la realidad, sino un promedio teórico del valor que se "espera" sacar, por lo que es posible que no de resultados que sean posibles en la realidad.

Ejemplo: Dado de 6 caras

La esperanza matemática de lanzar un dado de 6 caras es 3.5, pero nunca obtendremos un 3.5 en un solo lanzamiento. Sin embargo, si lanzamos el dado muchas veces y calculamos el promedio de los resultados, este se acercará a 3.5.

Huygens fue un matemático, físico y astrónomo neerlandés que jugó un papel fundamental en la formalización de la probabilidad. Su principal contribución fue su libro "De Ratiociniis in Ludo Aleae" (Sobre el cálculo en los juegos de azar), publicado en 1657 y considerado el "primer tratado formal sobre la probabilidad" el cual fue basado en las ideas de Pascal y Fermat.

De Ratiociniis in Ludo Aleae (Sobre el cálculo en los juegos de azar)

Publicado en 1657 y considerado el primer tratado sobre la probabilidad, realizado por Huygens tras enterarse de las conversaciones (por cartas) que tenían Pascal y Fermat por su maestro Frans van Schooten que trataba sobre como dividir apuestas en un juego interrumpido (problema de los puntos), lo que hizo que lo animo a estructurarlas en un tratado matemático formal y no solo recopilándolos sino que los amplio y generalizo, estableciendo un métodos sistemático para resolver problemas de azar.

Definiciones y Principios Generales

Definición de juego justo

Huygens establece que un juego es justo si todas las partes involucradas tienen la misma expectativa matemática de ganancia.

Ejemplo

Si dos jugadores apuestan la misma cantidad y tienen la misma probabilidad de ganar, el juego es justo.
Pero si uno tiene más probabilidades de ganar que el otro, el juego es injusto.

Dato curioso: Esto lleva al concepto de equidad en los juegos de azar, lo que más tarde influirá en la teoría de decisiones y economía.

Definición de esperanza matemática

Definición moderna

Huygens formaliza el concepto de esperanza matemática como la cantidad que un jugador debería esperar ganar en promedio.

𝐸(𝑋)=𝑝1𝑎1+𝑝2𝑎2+⋯+𝑝𝑛𝑎𝑛

Ejemplo

Ejemplo:
Si un jugador tiene un 50% de probabilidad de ganar 10 monedas y un 50% de perder 4 monedas, su esperanza matemática es:

𝐸(𝑋)=(1/2×10)+(1/2×(−4))

𝐸(𝑋)=5−2=3

Definición en términos de Huygens

Huygens definió la esperanza matemática más en términos de justicia en los juegos de azar manteniendo una idea clave de; "Si un jugador tiene varias oportunidades de ganar cantidades diferentes, su pago justo para participar en el juego debe ser igual a su esperanza matemática".

Huygens hace uso de postulados para llegar a la formula de la esperanza matemática de la siguiente manera.

Postulado 1: Valor esperado en situaciones equiprobables

Si hay varias formas igualmente probables de obtener una ganancia, el valor esperado es el promedio de esas ganancias.

Ejemplo

Supongamos que un jugador puede ganar 2,4 o 6 monedas, y cada resultado ocurre con la misma probabilidad (1/3 cada uno)
el valor esperado se calcula así:
E(x)= (2+4+6)/3 = 12/3 = 4
Y asi Huygens introduce la idea de que el valor esperado es un promedio ponderado de las ganancias posibles.

Postulado 2: Esperanza matemática con probabilidades diferentes

Si un jugador puede obtener varias ganancias con diferentes probabilidades, su esperanza matemática es la suma ponderada de cada ganancia por su probabilidad.

Ejemplo

Si un jugador tiene:

1/4 de probabilidad de ganar 8 monedas
3/4 de probabilidad de ganar 2 monedas
Entonces su esperanza matemática es:

𝐸(𝑋)=(1/4×8)+(3/4×2)
𝐸(𝑋)=2+1.5=3.5

Aquí Huygens generaliza el primer postulado, permitiendo probabilidades desiguales

Postulado 3:Juegos justos y equivalencia de posiciones

Si un jugador puede intercambiar su posición con otro que tiene la misma esperanza matemática, el juego sigue siendo justo.

Ejemplo

Dos jugadores tienen estas expectativas:

Jugador A espera ganar 5 monedas.
Jugador B espera ganar 5 monedas.
Si intercambian posiciones, nada cambia, ya que ambos tienen la misma esperanza matemática.

Este postulado refuerza la idea de que el valor justo de una apuesta es su esperanza matemática.

Postulado 4: Suma de cantidades fijas a la esperanza matemática

Si un jugador recibe una cantidad fija sin importar el resultado del juego, esa cantidad se suma a su esperanza matemática.

Ejemplo

Si un jugador tiene una esperanza de 4 monedas, pero además recibe 2 monedas extra, su nueva esperanza es:

𝐸(𝑋)=4+2=6

Esto ayuda a calcular pagos adicionales o premios garantizados en juegos de azar.

Postulado 5: Esperanza total en juegos independientes

Si un jugador participa en varios juegos independientes, su esperanza total es la suma de las esperanzas individuales de cada juego.

Ejemplo

Si un jugador participa en dos juegos con esperanzas de:

4 monedas en el primer juego
6 monedas en el segundo juego
Entonces, su esperanza total es:

𝐸(𝑋)=4+6=10

Este postulado introduce la linealidad de la esperanza matemática, un principio fundamental en probabilidad.

Uso de Probabilidades en el Cálculo de Pagos

Huygens afirma que la cantidad justa que un jugador debería pagar para participar en un juego debe ser igual a su esperanza matemática.

Ejemplo

Si un jugador tiene una esperanza matemática de 8 monedas, entonces no debería pagar más de 8 monedas para participar en el juego.

Dato curioso: Esta idea es la base del cálculo de primas en seguros, precios de opciones en mercados financieros y valoración de apuestas.

Introducción de la Fórmula de Valor Esperado

Huygens estructura matemáticamente la fórmula para el cálculo de la esperanza matemática, que hoy en día usamos para variables aleatorias.

E(x)=∑ n con i=1 de (p_i * Xi)

Ejemplo

En un dado de 6 caras, si el premio es igual al número que salga, la esperanza matemática sería:
E(x)= (1/6*1)+(1/6*2)+(1/6*3)+(1/6*4)+(1/6*5)+(1/6*6)
E(x)= 3.5

Problemas y Soluciones

Subtopic

Es un problema de probabilidad planteado por Daniel Bernoulli en 1738.
La paradoja muestra una aparente contradicción entre la esperanza matemática y la intuición económica en juegos de azar.

La paradoja consiste en suponer que se lanzara una moneda hasta que salga cara y el premio seria 2 euros elevado a la n (donde n representa la tirada en la que sale cara).
Por lo que si alguien gana en la primera tirada seria 2^1=2 euros ganados, si fuera en la 2 tirada seria 2^2=4 euros ganados y asique consecutivamente hasta que salga cara (lo cual tambien dice que podemos estar asi indefinidamente, dado que hay al menos una mínima probabilidad de seguir sacando cruz).
Además podemos calcular sus probabilidades siendo la de el primer lanzamiento de 50%, la del segundo 25%, la del tercero 12.50% y asi indefinidamente siendo el siguiente turno la mitad del anterior.
Pero, ¿Cuánto pagarías por este juego? es la pregunta que plantea Bernoulli la cual se trata de responder con el Valor Esperado;
la cual se puede obtener con la suma del producto de el premio que se consigue por su probabilidad de obtenerlo
VE=2*50%+4*25%+.......+Xn*Pn
pero podemos observar que cada una de estas multiplicaciones es igual a 1.
VE=1+1+1+1+...= infinito
Según la teoría de la decisión "un jugador deberia estar dispuesto a jugar un juego si el VE es mayor que el precio a pagar", entonces podemos suponer que el precio a jugar es de un 100.000 euros y el jugador deberia entrar dado que el precio para jugar es menor que el VE, pero tambien nadie esta dispuesto a pagar tanto por ello.
https://www.youtube.com/watch?v=6Zi7DXxW46U

Para saber ¿Qué juegos jugaría una persona y ¿Cuánto estaría dispuesto como máximo a pagar?
Se utiliza el concepto llamado Utilidad esperada

Utilidad esperada

La utilidad esperada es un concepto de la teoría de la decisión que mide cómo las personas toman decisiones en situaciones de incertidumbre, considerando no solo las ganancias monetarias, sino también su percepción subjetiva de esas ganancias.
Fue introducida formalmente por Daniel Bernoulli en 1738 para resolver la paradoja de San Petersburgo.

Diferencia entre Valor Esperado y Utilidad Esperada

Valor esperado (esperanza matemática): Es el promedio ponderado de las ganancias posibles, considerando solo los números.
Utilidad esperada: En lugar de considerar solo el dinero, se mide cuánto "valor" o "satisfacción" obtiene una persona de cada posible resultado.

Ejemplo

Ganar 1000 dólares puede ser increíblemente valioso para alguien con pocos recursos.
Para un millonario, la misma cantidad puede no significar mucho.
Esto sugiere que las personas no valoran el dinero linealmente, sino con una función que refleja su percepción subjetiva.

Cálculo de la Utilidad Esperada

E[U(X)]= i=1∑n de (Pi * U(Xi))

Donde:
Pi es la probabilidad de cada posible resultado
Xi es la cantidad de dinero ganada en cada resultado
U(Xi) es la función de utilidad aplicada al dinero

Ejemplo

Si la utilidad que recibe una persona para conseguir un Ferrari es de 100 entonces en el hipotético caso que esta persona tenga un 70% de probabilidades de obtener ese Ferrari y 30% de no ganar nada la utilidad esperada que tendría esta persona seria de:
UE= 100*70%+0*30%=70

La esperanza matemática no es solo una teoría abstracta, sino que tiene aplicaciones prácticas en diversas áreas, desde la economía hasta la inteligencia artificial.

En Finanzas y Economía

Valoración de inversiones: Se usa para calcular el rendimiento esperado de acciones, bonos y otros activos financieros.
Valoración de seguros: Las compañías de seguros calculan la esperanza matemática de los riesgos para fijar precios de pólizas.
Decisiones económicas: Se aplica en la teoría de la utilidad esperada para modelar cómo las personas toman decisiones bajo incertidumbre.

Ejemplo

Si una inversión tiene un 50% de probabilidad de ganar $10,000 y un 50% de perder $5,000, la esperanza matemática es:
𝐸(𝑋)=(0.5×10,000)+(0.5×(−5,000))=2,500
Esto indica que, en promedio, esperarías ganar $2,500 por cada inversión de este tipo.

En Inteligencia Artificial y Machine Learning

Redes neuronales: La esperanza matemática se usa en algoritmos de aprendizaje automático para ajustar pesos y minimizar errores.
Procesos de toma de decisiones: Se aplica en aprendizaje por refuerzo, donde un agente aprende a maximizar su recompensa esperada.
Visión por computadora y reconocimiento de patrones: Para predecir el valor más probable de un conjunto de datos.

Ejemplo

Un coche autónomo usa la esperanza matemática de colisiones para decidir si frenar o continuar.

En Estadística y Ciencias de Datos

Estudios de mercado: Se usa para predecir el comportamiento de los consumidores basándose en datos históricos.
Análisis de riesgos: Para evaluar riesgos en proyectos empresariales o estrategias gubernamentales.
Inferencia estadística: Se usa para estimar parámetros poblacionales a partir de muestras.

Ejemplo

Si se quiere calcular el ingreso promedio esperado de una población, se toma una muestra y se calcula la esperanza matemática de los ingresos observados.

En Juegos de Azar y Teoría de Juegos

Cálculo de apuestas justas: Se usa para diseñar juegos de azar equilibrados y establecer estrategias óptimas en casinos.
Estrategias en juegos como el póker: Se usa para calcular la mejor jugada considerando el valor esperado de cada opción.

Ejemplo

En una ruleta con 38 números, la apuesta a un solo número paga 35:1. La esperanza matemática es negativa, lo que indica que el casino tiene ventaja:
𝐸(𝑋)=(1/38×35)+(37/38×(−1))=−0.0526
Esto significa que, en promedio, se pierde 5.26 centavos por cada dólar apostado.

En Ciencias Naturales y Medicina

Epidemiología: Se usa para modelar la propagación de enfermedades y predecir la cantidad esperada de infecciones.
Farmacología: Se aplica en ensayos clínicos para analizar la efectividad esperada de un medicamento.
Genética: Para calcular la probabilidad esperada de heredar ciertas características.

Ejemplo

Si un medicamento tiene un 80% de probabilidad de curar una enfermedad y un 20% de no hacer efecto, la esperanza matemática del número de pacientes curados en un ensayo con 100 personas es:
𝐸(𝑋)=100×0.8=80
Esto indica que se espera que 80 de cada 100 pacientes se curen con el tratamiento.

En Física y Procesos Estocásticos

Mecánica cuántica: Se usa para calcular valores esperados de observables como la posición o el momento de una partícula.
Termodinámica y dinámica de fluidos: Para modelar el comportamiento de partículas en un gas o líquido.
Procesos de Markov: Se usa en sistemas donde el futuro depende del presente, como modelos climáticos o tráfico vehicular.

Ejemplo

En mecánica cuántica, la esperanza matemática de la posición de una partícula está dada por la integral de su función de onda:

𝐸(𝑋)=∫ desde−∞ hasta ∞ de (𝑥 * 𝑓(x)) dx