Exponenciación y Radicales

Las leyes de los exponentes y radicales establecen una forma simplificada o resumida de trabajar una serie de operaciones numéricas con potencias.

Leyes de los Exponentes

La finalidad de las leyes de los exponentes es resumir una expresión numérica. Por esta razón es que en muchas expresiones matemáticas se encuentran expuestas como potencias.

TIPOS

(a) representa el número base y (n o enésima) es el exponente que indica cuántas veces se debe multiplicar o elevar la base según lo expresado en el exponente.

52 es lo mismo que (5) ∙ (5) = 25. Es decir, se debe multiplicar 5 dos veces.
23 es lo mismo que (2) ∙ (2) ∙ (2) = 8. Es decir, se debe multiplicar 2 tres veces.

Potencia con exponente 0

Cualquier número elevado a un exponente 0 es igual a 1.
Ejemplos:
a^0 = 1
-5^0 = 1

Potencia con exponente 1

Cualquier número elevado a un exponente 1 es igual a sí mismo.
Ejemplos:
a^1 = a
7^1 = 7

Producto de potencias de igual base o multiplicación de potencias de igual base

22 ∙ 24 es lo mismo que (2) ∙ (2) x (2) ∙ (2) ∙ (2) ∙ (2). Es decir, se suman los exponentes 22+4 y el resultado sería 26 = 64.
35 ∙ 3-2 = 35+(-2) = 35-2 = 33 = 27
Esto sucede porque el exponente es el indicador de cuántas veces se debe multiplicar el número base por sí mismo.

División de potencias de igual base o cociente de dos potencias con igual base

El cociente de dos potencias de igual base es igual a elevar la base según la diferencia del exponente del numerador menos el denominador. La base debe ser diferente a 0. a^n/a^m=a^n-m

Potencia de un producto o Ley distributiva de la potenciación con respecto de la multiplicación

Esta ley establece que la potencia de un producto debe ser elevada al mismo exponente (n) en cada uno de los factores. (a ∙ b ∙ c)n = an ∙ bn ∙ cn
(3 ∙ 5)3 = 33 ∙ 53 = (3 ∙ 3 ∙ 3) (5 ∙ 5 ∙ 5) = 27 ∙ 125 = 3375.
(2ab)4 = 24 ∙ a4 ∙ b4 = 16 a4b4

Potencia de otra potencia

Se refiere a la multiplicación de potencias que tienen las mismas bases, de la cual se obtiene una potencia de otra potencia.
Ejemplos:
(am)n = am∙n
(32)3 = 32∙3 = 36 = 729

Ley del exponente negativo

Si se tiene una base con un exponente negativo (a-n) se debe tomar la unidad divida entre la base que será elevada con el signo del exponente en positivo 1/2^3= 1/8

Leyes de los Radicales

Los radicales son las raíces cuadras que se expresan de la siguiente manera √, y consiste en conseguir un número que multiplicado por sí mismo dé como resultado lo que está en la expresión numérica.

Ley de cancelación del radical

Una raíz (n) elevada a la potencia (n) se cancela. (√4 )^2 = 4

Raíz de una multiplicación o producto

Una raíz de una multiplicación se puede separar como una multiplicación de raíces, sin importar el tipo de raíz.√900=√9∙100=√9∙√100=3∙10=30

Raíz de una división o cociente

La raíz de una fracción es igual a la división de la raíz del numerador y de la raíz del denominador. √18/2=√18/√2=√9=3

Raíz de una raíz

Cuando dentro de una raíz hay una raíz se pueden multiplicar los índices de ambas raíces a fin de reducir la operación numérica a una sola raíz, y se mantiene el radicando.n^√m^√a=n-m^√a

Raíz de una potencia

Cuando se tiene dentro de una raíz un número elevado un exponente, se expresa como el número elevado a la división del exponente entre el índice del radical. n^√a^m=a^m/n