Funciones reales de variable real, gráficas.

Clases de funciones: Función polinómica
Función constante
Función polinómica de primer grado
Función afín
Función lineal
Función identidad
Función cuadrática
Función cúbica
Función racional
Función de proporcionalidad inversa
Función radical
Función inversa
Funciones trascendentes
Función exponencial
Función potencial exponencial
Función logarítmica
Funciones trigonométricas
Funciones trigonométricas inversas
Funciones definidas a trozos
Función derivada
Funciones inyectivas, sobreyectivas y biyectivas
Función inyectiva
Función sobreyectiva
Función biyectiva
Funciones explícitas e implícitas
Función valor absoluto

Se presenta de está forma: f(x)

Dominio y Rango

El dominio de una función f ( x ) es el conjunto de todos los valores para los cuales la función está definida, y el rango de la función es el conjunto de todos los valores que f toma.

Gráfica de funciones algebraicas y funciones especiales

Operaciones con funciones:Ejemplo :

Digamos que f ( x ) = 2 x + 1 y g ( x ) = x 2 – 4.

Encuentre ( f + g )( x ), ( f – g )( x ), ( fg )( x ) y .

( f + g )( x ) = f ( x ) + g ( x )

= (2 x + 1) + ( x 2 – 4)

= x 2 + 2 x – 3

( f – g )( x ) = f ( x ) – g ( x )

= (2 x + 1) – ( x 2 – 4)

= – x 2 + 2 x + 5

( fg )( x ) = f ( x ) × g ( x )

= (2 x + 1)( x 2 – 4)

= 2 x ^3 + x ^2 – 8 x – 4

Composición de funciones: La composición es una operación entre funciones que se establece de la siguiente manera:

Dadas dos funciones f y g, se define como la composición de la función f con la función g, a la función denotada f o g (léase f composición g), cuya regla de correspondencia es:


Un ejemplo sería: f(x) = 3x y g(x) = x + 1


Donde su dominio está representado por el conjunto.



Para visualizar mejor cómo se obtiene el dominio y el recorrido de la función composición f o g, recurramos a su representación en un diagrama de Venn.



Podemos ver que el D f o g (dominio de f o g) lo formarán aquellos elementos del g para los cuales, al sustituirlos en la función g, el resultado pertenece al conjunto Rg ∩ Df..

Ejemplo: Si f(x)=x2-1 y g(x)=-(x+1)^(1/2)




Propiedades de la composición de funciones:

1. Asociativa

f o (g o h) = (f o g) o h

2. No es conmutativa

f o g ≠ g o f

3. El elemento neutro es la función identidad, i(x) = x.

f o i = i o f = f

Ejercicios:

f(x) = 3x-5, g(x)= x2+2x , h(x)=√(x+2) , k(x)= 3/x-8


1. (f o g)(x)= 3(x2+2x)-5
=3x2+6x-5
R=3x2+6x-5

2. (g o f)(x)= (3x-5)2 + 2(3x-5)
= 9x2-60x +25 + 6x -10 (simplificamos en términos iguales)
=9x2 -54x +15
R=9x2 -54x +15
3.(h o k)(x)= √(3/(x-8 )+2
R= √(3/(x-8 )+2 (ya no se puede simplificar más, hasta ahí queda el resultado)

4. (f o k) (x)=3(3/x-8)-5

=9/x-24-5

=9/x-29

Funciones inversas:
Se llama función inversa o reciproca de f(x) a otra función f^-1 (x) que cumple que:



Si f(a)=b , entonces f^-1 (b)=a




Veamos un ejemplo a partir de la función f(x)=x+4

Punto medio es el que lo divide en dos partes iguales. En ese caso, el punto medio es único y equidista de los extremos del segmento. Por cumplir esta última condición, pertenece a la mediatriz del segmento.

Formula: xc = xa + xb yc = ya + yb
2 2

La pendiente de una recta es una medida de la inclinación de una recta cuando la ubicamos en un par de ejes coordenados (x – y).

Formula de : A(X1, Y1) B(X2, Y2)
m= Y2-Y1 ÷ X2-X1

Punto pendiente de la recta: Un tipo de ecuación lineal es la forma punto-pendiente, la cual nos proporciona la pendiente de una recta y las coordenadas de un punto en ella. La forma punto-pendiente de una ecuación lineal se escribe como . En ésta ecuación, m es la pendiente y (x1, y1) son las coordenadas del punto.

La distancia entre dos puntos equivale a la longitud del segmento de recta que los une, expresado numéricamente.

Formula: d=√(X2-X1)^2 + (Y2-Y1)^2

d=√(4-7)^2 + (1-5)^2
d=√(-3)^2 +(-4)^2
d=√9+16
d=√25
d=5 unidades

Conjunto de valores y puntos que permiten definir unívocamente la posición de cualquier punto de un espacio euclídeo.

Se usan por ejemplo para definir un sistema cartesiano o sistema de referencia respecto ya sea a un solo eje (línea recta), respecto a dos ejes (un plano) o respecto a tres ejes (en el espacio), perpendiculares entre sí (plano y espacio), que se cortan en un punto llamado origen

Tipos de coordenadas

Sistema de coordenadas cartesianas.
Sistema de coordenadas polares.
Sistema de coordenadas log-polares.
Sistema de coordenadas cilíndricas.
Sistema de coordenadas esféricas.
Coordenadas geográficas.
Coordenadas curvilíneas generales.
Coordenadas curvilíneas ortogonales.

El eje horizontal se llama eje X o eje de abscisas.

El eje vertical se llama eje Y o eje de ordenadas