Tema de investigacion

Relación es la correspondencia de un primer conjunto, llamado Dominio , con un segundo conjunto, llamado Recorrido o Rango , de manera que a cada elemento del Dominio le corresponde uno o más elementos del Recorrido o Rango.

Una Función es una relación a la cual se añade la condición de que a cada valor del Dominio le corresponde uno y sólo un valor del Recorrido.

Todas las Relaciones pueden ser gráficadas en el Plano Cartesiano.

Dados dos conjuntos A y B una relación definida de A en B es un conjunto de parejas ordenadas ( par ordenado ) que hacen verdadera una proposición; dicho de otro modo, una relación es cualquier subconjunto del producto cartesiano A x B

Ejemplo:

Si A = {2, 3} y B = {1, 4, 5}, encontrar tres relaciones definidas de A en B.

Solución

El producto cartesiano de A x B está conformado por las siguientes parejas o pares ordenados:



A x B = {(2, 1), (2, 4), (2, 5), (3, 1), (3, 4), (3, 5)}



Y cada uno de los siguientes conjuntos corresponde a relaciones definidas de A en B:



R1 = {(2, 1), (3, 1)}



R2 = {(2, 4), (2, 5), (3, 4), (3, 5)}



R3 = {(2, 4), (3, 5)}



La relación R1 se puede definir como el conjunto de pares cuyo segundo elemento es 1, esto es, R1 = {( x , y ) / y = 1}.



La relación R2 está formada por los pares cuyo primer componente es menor que el segundo componente, R2 = {( x , y ) / x < y }



Y la relación R3 está conformada por todos los pares que cumplen con que el segundo componente es dos unidades mayor que el primer componente, dicho de otro modo, R3 = {( x , y ) / y = x + 2}



Así, se puede continuar enumerando relaciones definidas a partir de A x B. Como se puede ver, la regla que define la relación se puede escribir mediante ecuaciones o desigualdades que relacionan los valores de x e y . Estas reglas son un medio conveniente para ordenar en pares los elementos de los dos conjuntos.

Funciones algebraicas

En las funciones algebraicas las operaciones que hay que efectuar con la variable independiente son: la adición, sustracción, multiplicación, división, potenciación y radicación.

Las funciones algebraicas pueden ser:

Funciones explícitas

En las funciones explícitas se pueden obtener las imágenes de x por simple sustitución.

f(x) = 5x - 2

Funciones implícitas

En las funciones implícitas no se pueden obtener las imágenes de x por simple sustitución, sino que es preciso efectuar operaciones.

5x - y - 2 = 0

Funciones polinómicas

Las funciones polinómicas vienen definidas por un polinomio.

f(x) = a0 + a1 x + a1 x² + a1 x³ +··· + an xn

Su dominio es R , es decir, cualquier número real tiene imagen.

Funciones a trozos
Son funciones definidas por distintos criterios, según los intervalos que se consideren.

Funciones en valor absoluto.

Función parte entera de x.

Función mantisa.

Función signo.

Funciones polinómica de primer grado
f(x) = mx +n

Su gráfica es una recta oblicua, que queda definida por dos puntos de la función. Función afín.

Función lineal.



Función identidad.

Funciones cuadráticas
f(x) = ax² + bx +c

Son funciones polinómicas es de segundo grado, siendo su gráfica una parábola.

Funciones constantes

El criterio viene dado por un número real.

f(x)= k

La gráfica es una recta horizontal paralela a al eje de abscisas.

Funciones trascendentes

En las funciones trascendentes la variable independiente figura como exponente, o como índice de la raíz, o se halla afectada del signo logaritmo o de cualquiera de los signos que emplea la trigonometría.

Función exponencial

Sea a un número real positivo. La función que a cada número real x le hace corresponder la potencia ax se llama función exponencial de base a y exponente x.

Funciones logarítmicas

La función logarítmica en base a es la función inversa de la exponencial en base a.

función

función

Funciones trigonométricas

La funciones trigonométricas asocian a cada número real, x, el valor de la razón trigonométrica del ángulo cuya medida en radianes es x.

Función cotangente
f(x) = cotg x

Función tangente
f(x) = tg x

Función seno
f(x) = sen x

Función coseno
f(x) = cosen x

Función cosecante
f(x) = cosec x

Función secante
f(x) = sec x

Lo que puede entrar en una función se llama el dominio
Lo que es posible que salga de una función se llama el codominio
Lo que en realidad sale de una función se llama rango o imagen

Lo que sale (el rango) depende de lo que pones (el dominio), pero TÚ defines el dominio. Un dominio diferente da una función diferente.

Ejemplo: una simple función como f(x) = x2 puede tener dominio (lo que entra) los números de contar {1,2,3,...}, y el rango será entonces el conjunto {1,4,9,...}

Otra función g(x) = x2 puede tener como dominio los enteros {...,-3,-2,-1,0,1,2,3,...}, entonces el rango será el conjunto {0,1,4,9,...}

Aunque las dos funciones toman la entrada y la elevan al cuadrado, operan en conjuntos diferentes de entradas, y por eso dan salidas diferentes.

¿Todas las funciones tienen su dominio?

Sí, pero en matemáticas sencillas no lo notas, porque el dominio se supone:

Normalmente se supone que es algo así como "todos los números que hacen que funcione".
O si estás estudiando números enteros, el dominio será los enteros.
etc.

Codominio y rango
El codominio y el rango tienen que ver con la salida, pero no son exactamente lo mismo.

El codominio es el conjunto de valores que podrían salir.

El rango es el conjunto de valores que realmente salen.