Teoria y Aplicaciones del Análisis Estadístico Aplicativo

2.1 Situación fundamental y original

Se interrelaciona una población E de objetos o sujetos con variables
(caracteres, criterios, éxitos…) formulándose la siguiente pregunta: ¿"en qué
medida se puede considerar que de cumplirse la variable2
a implica que se cumpla
la variable b? Dicho de otra forma, ¿los sujetos tienen la tendencia a ser b si se
sabe que son a?". En las situaciones naturales, humanas o de las ciencias de la
vida, donde los teoremas (si a entonces b) en sentido deductivo del término no
pueden establecerse a causa de las excepciones que los niegan, es importante para
el investigador y el experto "profundizar en sus datos" con el fin de lograr reglas
suficientemente fiables (de las clases de "teoremas parciales", de las inducciones)
para poder conjeturar3
una posible relación causal, una génesis, para describir,
estructurar una población y hacer la hipótesis de una determinada estabilidad con
fines descriptivos y, si es posible, predictivos

2.2 Matematización

Dado un conjunto finito V de v variables: a, b, c… En la
situación paradigmática clásica, se trata de los resultados (éxito-fracaso) a un ítem
de un cuestionario. A un conjunto finito E de n sujetos x, se asocian, por abuso de
escritura, las funciones del tipo: → (xax ) donde ( ) = 1xa (o (xa ) = verdadero ) si x
satisface o posee el carácter a y 0 (o ( ) = falsoxa ) en caso contrario. En inteligencia
artificial se dirá que x es un ejemplo o una instancia para a si ( ) = 1xa y un
contraejemplo en el caso contrario

2.3 Formalización

Para formalizar esta cuasi-regla, consideremos, como hizo I. C. Lerman para
la similaridad, dos partes cualesquiera X e Y de E, elegidas aleatoria e
independientemente (ausencia de vínculo a priori entre estas dos partes) y de
cardinales iguales a los de A y B respectivamente. Sean Y y B los complementos
respectivos de Y y de B en E de igual cardinal b b = − nnn .

2.4 Estabilidad del índice de implicación

Estudiar la estabilidad de q, equivale a examinar sus pequeñas variaciones en
una vecindad de los 4 valores enteros observados ( ) ba ba nyn,n,n ∧ . Para ello, es
posible efectuar distintas simulaciones cruzando las 4 variables enteras de las que q

depende ((Fleury, 1996) o (Gras et al, 2004a)). Pero, consideremos estas variables

como números reales y a q como una función continuamente diferenciable con

relación a las mismas, obligadas a respetar las desigualdades: na , nb y

[ ] ∧ba ≤ n,ninfn ba y [ ] ba ≤ nn,nsup .

3.1 Situación original

Con el fin de ponerlo en evidencia, se les proponen algunas palabras significativas
que deben jerarquizar. Sus elecciones ya no son binarias, las palabras elegidas por
un profesor cualquiera son ordenadas de menor a mayor representatividad. La
interrogación de M. Bailleul se centra entonces en cuestiones del tipo: “si yo elegí
tal palabra con tal importancia, entonces yo elijo otra palabra con una importancia
al menos igual”. Entonces fue necesario extender el concepto de implicación
estadística a otras variables no binarias. Este es el caso de las variables modales
que son asociadas a fenómenos donde los valores (xa ) son números del intervalo
[ ]1,0 y que describen grados de pertenencia o satisfacción como es en el caso de la
lógica difusa

3.2 Formalización

Esta solución aportada al caso modal es también aplicable al caso de las
variables frecuenciales, o incluso al de las variables numéricas positivas, bajo la
condición de haber normalizado los valores observados sobre las variables, tales
como a y b, la normalización en [0,1] es hecha a partir del máximo del valor
tomado respectivamente por a y b sobre el conjunto E.

4.1 Variables- sobre-intervalo

4.1.1 Situación original

Se busca, por ejemplo, extraer de un conjunto de datos biométricos la regla
siguiente, considerando su calidad: “si un individuo pesa entre 65 y 70kg entonces
en general mide entre 1.70 y 1.76m “. Una situación comparable se presenta en la

investigación de la relación entre intervalos de resultados de alumnos en dos

disciplinas diferentes. La situación más general se expresa entonces así: dos

variables reales a y b toman una serie de valores sobre 2 intervalos finitos [ ] 21 a,a y

[ ] b,b 21 . Sea A (resp. B) el conjunto de los valores de a (resp. b) observados sobre

[ ] 21 a,a (resp. [ ] b,b 21 )

4.1.2 Primer problema

Nos vamos a interesar por el intervalo [ ] 21 a,a , suponiéndolo provisto de una
partición inicial trivial de subintervalos de igual longitud, pero no necesariamente
de igual distribución de frecuencias observadas sobre estos subintervalos.

Denotemos por = { } A,...,A,AP P002010 , esta partición en p subintervalos. Se

pretende obtener una partición de [ ] 21 a,a en p subintervalos A,...,A,A qP2q1q de tal

forma que en cada subintervalo se tenga una buena homogeneidad estadística

(escasa varianza intra-clase) y que estos subintervalos presentan una buena

heterogeneidad mutua (fuerte inercia inter-clase).

4.1.3 Segundo problema

Se supone ahora que los intervalos [ ] 21 a,a y [ ] b,b 21 se proveen de
particiones optimales P y Q, respectivamente, en el sentido de las nubes dinámicas.
Sean p y q los números respectivos de subintervalos que componen P y Q. A

4.2 Variables-intervalos

4.2.1 Situación original

Se dispone de los datos proporcionados por una población de n individuos
(que pueden ser cada uno ciertos conjuntos de individuos, por ej. una clase de
alumnos) según p variables (por ej. notas sobre un año en francés, matemáticas,

física…, pero también podría ser: peso, estatura, ancho de pecho…). Los valores

tomados por estas variables según cada individuo son intervalos de números reales

positivos. Por ejemplo, el individuo x refleja el valor [12; 15,50] en la variable nota

de matemáticas. E. Diday hablaría de este sujeto de p variables simbólicas en

términos de valores intervalos definidos sobre la población

4.2.2 Algoritmo

tomados según los sujetos para las variables a y b son de naturaleza simbólica,
con frecuencia en los intervalos de + R , es posible extender los algoritmos
anteriores [Gras R. 17 c, 2001]. Por ejemplo, a la variable a se le asocian los
intervalos de peso y a la variable b los intervalos de estatura, intervalos debidos a
una imprecisión de las medidas. Efectuando la unión de los intervalos xI y x J
descritos por los sujetos x de E , según cada una de las variables a y b
respectivamente, se obtienen dos intervalos I y J que cubren todos los valores
posibles de a y b . Sobre cada uno ellos se pueden definir una partición en un
determinado número de intervalos que respetan, como se explicó anteriormente, un
determinado criterio de optimalidads

5.1 Situación original y problemática

- Cuando el tamaño de las muestras tratadas, y en particular el de E, crece (del
orden del millar y más), la intensidad ϕ b)(a, tiende a no discriminar
suficientemente ya que sus valores pueden ser muy próximos a 1, mientras que

la inclusión cuya calidad se busca o pretende modelar, dista mucho de ser

satisfecha (fenómeno indicado en (Botín A., 1997) que trata de la

5.2 Un índice de inclusión

La solución9
que aportamos utiliza a la vez la intensidad de implicación y otro
índice que da cuenta de la disimetría entre las situaciones 1 = )bya(S y
1 )bnoya(S' = , (respectivamente 2 = )bnoyano(S y 2 )bnoya(S' = en virtud de
la primera nombrada. La debilidad relativa de las instancias que contradicen la
regla y su contrapuesta es también fundamental.

5.3 El índice de implicación-inclusión

la calidad inductiva, es el número:
( ) ( )( ) [ ] 21
ϕ⋅=ψ b,ab,aib,a

que integra a la vez el asombro estadístico y la calidad inclusiva.

6.1 Problemática

6.2 Algoritmo

7.1 Situación original

7.2 Formalización (para una formalización detallada ver Gras y Kuntz,
2005, y Kuntz, 2005)

7.3 Aplicació

8.1 Situación original

8.2 Pre orden cohesitivo

8.3 Determinación de los niveles significativos

9.1 Situación fundamental

9.2 Potencia implicativa de una clase y de un camino

9.3 Potencia implicativa de un sujeto sobre una clase o un camino y
distancia a esta clase o camino

9.4 Tipicalidad y contribución de un sujeto y de una variable
suplementaria a una clase o un camino

9.4.1 Tipicalidad

9.4.2 Contribución

9.5 Aplicación

8.1 Situación original

8.2 Pre orden cohesitivo

El sistema informático CHIC (Classification Hiérarchique Implicative et
Cohésitive) es un software de análisis de datos, inicialmente concebido por Regis
Gras con relación a las técnicas del Análisis Estadístico Implicativo, el cual ha sido

sucesivamente desarrollado para las computadoras personales por Saddo Ag

Almouloud, Harrisson Ratsimba-Rajohn y, en su versión actual, por Raphaël

Couturier (Versión 4.1).

Para ejemplificar los cálculos que deben realizarse, tanto en el Análisis
Clasificatorio como en el Análisis Estadístico Implicativo, que veremos más
adelante, utilizaremos los datos de la investigación desarrollada por Pitarch en el

2002, en la cual se analizó el razonamiento de los alumnos de la Enseñanza

Secundaria Obligatoria (ESO), utilizando simultáneamente el tratamiento

Ya que su objetivo es agrupar objetos similares, se necesita alguna medida
para evaluar las diferencias y similitudes entre objetos. El concepto de similaridad
es fundamental. La similaridad es una medida de correspondencia o semejanza

entre los objetos que van a ser agrupados

2.1 Árbol de Similaridad

2.2 Nodos significativos

La Intensidad de la implicación entre variables

En la jerarquía dirigida, el árbol que se forma no está necesariamente
conectado, lo cual significa que esta jerarquía sólo contiene clases importantes de
acuerdo a la medida de calidad adoptada.

Los nodos internos del árbol dirigido, los cuales representan la jerarquía

dirigida, describen relaciones implicativas complejas, llamadas R-reglas, entre los

atributos de A.

La cohesión surge como una medida de la calidad implicativa de la R-regla.
El objetivo es descubrir R-reglas ´´´ → RR con una fuerte relación implicativa
entre las componente de ´ R y las de ´´ R . Por ejemplo, es natural formar la regla

( ) ( ) 21 43 →→→ aaaa si las relaciones implicativas 31 → aa , 41 → aa ,

32 → aa y 42 → aa son lo suficientemente significativas

Variable más típica o más contributiva, y también qué otras categorías pueden
conducir a los mismos valores de tipicalidad y/o contribución.
La noción de tipicalidad se define por el hecho de que ciertos individuos son

“típicos” del comportamiento de la población, es decir con una intensidad de

implicación similar a la de la regla. La noción de contribución se define para

determinar los individuos que contribuyen bien a la creación de la regla. Estos

individuos son más responsables que otros de la formación de la regla.

Tipicalidad y contribución de individuos en el Análisis clasificatorio

Tipicalidad y contribución de individuos en el Análisis implicativo

Asumimos que un ejemplo i e es una descripción de un objeto incluido en un
conjunto de datos en forma de un registro y ese conjunto de datos contiene n
ejemplos ne,..., 2e, 1

e . Un ejemplo i e está representado por una m-upla

imii ,...,, yyy 21 donde imii ,...,, yyy 21 son valores de m atributos discretos. Aquí se

supone que un atributo continuo ha sido convertido en un atributo nominal usando

un método existente, como se muestra en (Dougherty et al., 1995). Un evento

representando el valor asignado a un atributo será llamado átomo

3.1 MEPRO con su medida de interés

3.2 PADRE con su Evaluación de Fiabilidad Simultánea

3.3 Fijación de umbrales para PADRE

3.4 Estudio de Meta patrones para la Representación del Conocimiento

4.2 Efectividad de PADRE

4.3 Efectividad del Umbral Fijo para PADRE

4.4 Evaluación del estudio de Meta patrones para la Representación del
Conocimiento

Actualmente los artículos que proponen un método para descubrir
reglas/grupo de excepción, típicamente evalúan su método por una disminución del
número de reglas descubiertas o un éxito en un estudio de caso. Una disminución

del número de reglas descubiertas representa un criterio cuantitativo importante

que típicamente produce una reducción de los costos de inspección para salidas de

minería de datos. Sin embargo, este criterio de evaluación tiene una deficiencia

seria, que es que descuida la importancia de las reglas descubiertas.

Denotemos A y B los subconjuntos respectivos de E de individuos que
verifican respectivamente las variables a y b. Para una regla cualquiera a→ b,
observada en E, el ASI consiste en comparar el número de contraejemplos ba n ∧ a

dicha regla observados en A ∩ B , con el número de contraejemplos que aparecen

en una extracción aleatoria e independiente de dos partes X e Y de E con los

mismos cardinales respectivos que A y B (Figura 1) (cf. (Gras, 2005) y (Lebart et

al., 2006)). La variable aleatoria asociada se denota ba N

3.1 Dos enfoques para la caracterización de las reglas de excepción

3.2 Ejemplo numérico

4.1 Modelo de Poisson

4.1. Modelo binomial

Subtopic

Los datos de una investigación en un contexto de prueba de evaluación de una
lección, generalmente, están compuestos de los siguientes elementos:
- un conjunto de ítems o variables V en número v,

- un conjuntos de sujetos Y en número n,

- un conjunto W de actitudes, concepciones, comportamientos

generales esperados en el curso de la p

El análisis a priori permite evidenciar relaciones de similitud y relaciones
implicativas a priori entre las variables. Estas relaciones son, por supuesto,
hipotéticas y basadas sobre el conocimiento de los aprendizajes conocidos o

supuestos conocidos y de las condiciones de enseñanza. Aquí, nos interesamos

esencialmente en las relaciones implicativas, del conocimiento de las reglas, según

el vocabulario del “Data mining”. Se trata entonces de comparar las calidades

implicativas de las relaciones del tipo ⇒ ba obtenidas por el análisis a priori, por

ejemplo, por las concepciones de los alumnos ficticios, y aquellas conseguidas por

el análisis a posteriori, que preferimos llamar análisis de la contingencia, porque se

apoya directamente sobre la base de los comportamientos observados en una

prueba

3.1 Retorno al ASI

3.2 Construcción de una medida comparativa

3.3 Construcción de un test de hipótesis de adecuación a priori-a
posteriori