arabera Илона Брицова 12 months ago
277
Звичайні дроби
Звичайні дроби використовуються для представлення раціональних чисел у вигляді відношення двох чисел, чисельника і знаменника. Вони є важливим інструментом у вирішенні різних математичних задач.
arabera Илона Брицова 12 months ago
277
Honelako gehiago
Звичайний дріб або простий дріб — запис раціонального числа в вигляді відношення двох чисел mn. Ділене m називається чисельником дробу, а дільник n — знаменником дробу.
Перетворення звичайних дробів включає розкладання на прості дроби, зведення до спільного знаменника та перетворення змішаних чисел на неправильні дроби. Ось кілька прикладів перетворень звичайних дробів:
1. Розкладання на прості дроби:
Наприклад, якщо маємо дріб 3/8, можемо розкласти його на прості дроби шляхом знаходження спільного дільника для чисельника і знаменника. У цьому випадку, 3 і 8 не мають спільних дільників, тому 3/8 є простою дробом.
2. Зведення до спільного знаменника:
Наприклад, якщо маємо дроби 2/3 і 3/4, можемо звести їх до спільного знаменника, який у цьому випадку буде 12. Перетворюємо дроби:
2/3 = 8/12 (помножуємо чисельник і знаменник першого дробу на 4)
3/4 = 9/12 (помножуємо чисельник і знаменник другого дробу на 3)
Тепер можемо виконати операції з дробами, оскільки вони мають однаковий знаменник.
3. Перетворення змішаних чисел на неправильні дроби:
Наприклад, якщо маємо змішане число 1 3/4, можемо перетворити його на неправильний дріб, обчисливши його значення. У цьому випадку, 1 3/4 можна розглядати як 4/4 + 3/4 = 7/4.
Це лише кілька прикладів перетворень звичайних дробів. Зверніть увагу, що в деяких випадках можуть бути застосовані інші методи та правила для перетворень дробів, залежно від конкретної ситуації.
Щоб представити мішане число у вигляді неправильного дробу, потрібно:
Щоб перетворити десятковий дріб в звичайний дріб, потрібно представити його дробову частину у вигляді натурального числа, поділеного на 10 в відповідній степені. Після чого спростити отриманий дріб і до результату приписати цілу частину з відповідним знаком, формуючи мішаний дріб.
Для перетворення неправильного дробу в мішане число необхідно:
1. Ділення на частки: Наприклад, якщо у вас є 12 яблук, і ви хочете розділити їх між 3 дітьми порівну, ви можете використовувати звичайні дроби, щоб виразити кількість яблук для кожної дитини як 12/3 = 4.
2. Поділ на частини: Наприклад, якщо у вас є піца, розділена на 8 шматків, і ви хочете з'їсти половину піци, ви можете використовувати звичайні дроби, щоб виразити кількість шматків, які вам потрібно з'їсти, як 1/2 * 8 = 4.
3. Порівняння кількостей: Наприклад, якщо у вас є 3/4 пляшки соку і 2/3 пляшки лимонаду, ви можете використовувати звичайні дроби, щоб порівняти кількості напоїв і визначити, який більше.
4. Розрахунок вартості: Наприклад, якщо ціна однієї книги становить 1/2 долара, а ви хочете купити 3 книги, ви можете використовувати звичайні дроби, щоб обчислити загальну вартість як 1/2 * 3 = 1.5 долара.
5. Розрахунок відсотків: Наприклад, якщо ви отримали 4 з 10 правильних відповідей на тесті, ви можете використовувати звичайні дроби, щоб обчислити відсоток правильних відповідей як 4/10 * 100% = 40%.
На практиці часто доводиться розв’язувати обернену задачу. Тобто знаходити число, знаючи, що деяке число становить якусь частину шуканого числа. Такі задачі називають задачами на знаходження числа за його дробом. їх теж можна розв’язувати і арифметичним, і алгебраїчним способами.
На практиці доводиться знаходити число, яке від даного числа становить 
, 
,
тощо. Такі задачі називають задачами на знаходження дробу від числа. їх можна розв’язувати і арифметичним, і алгебраїчним способами.
Ось кілька прикладів задач на додавання і віднімання дробів з різними знаменниками:
Приклад 1:
Обчисліть суму: 1/3 + 1/4.
Спочатку знайдемо спільний знаменник. Найменше спільне кратне для 3 і 4 - це 12. Тому перетворимо дроби, щоб мати знаменник 12:
1/3 = 4/12 (помножимо чисельник і знаменник на 4)
1/4 = 3/12 (помножимо чисельник і знаменник на 3)
Тепер можемо додати чисельники: 4/12 + 3/12 = 7/12.
Приклад 2:
Відніміть: 5/6 - 2/5.
Знайдемо спільний знаменник. Найменше спільне кратне для 6 і 5 - це 30. Тому перетворимо дроби, щоб мати знаменник 30:
5/6 = 25/30 (помножимо чисельник і знаменник на 5)
2/5 = 12/30 (помножимо чисельник і знаменник на 6)
Тепер віднімемо чисельники: 25/30 - 12/30 = 13/30.
Приклад 3:
Обчисліть суму: 2/3 + 5/8.
Знайдемо спільний знаменник. Найменше спільне кратне для 3 і 8 - це 24. Тому перетворимо дроби, щоб мати знаменник 24:
2/3 = 16/24 (помножимо чисельник і знаменник на 8)
5/8 = 15/24 (помножимо чисельник і знаменник на 3)
Тепер можемо додати чисельники: 16/24 + 15/24 = 31/24.
Це лише кілька прикладів задач на додавання і віднімання дробів з різними знаменниками. Зверніть увагу, що в деяких випадках може бути необхідно знаходити спільний знаменник, перетворювати дроби та приводити їх до однакового знаменника перед виконанням операцій.
Звичайні дроби застосовуються:
Дроби використовуються в рецептах наших бабусь. Для прикладу наведемо рецепт приготування гамбургеру. Інгредієнти: 1 дрібно нарізана цибулина, 1 кг перекрученої на м'ясорубці яловичини або баранини, 1 сухарик, 1 склянка подрібнених лісових горіхів, сіль, перець - за смаком, 1 яйце, 1 / 2 ч.л. спецій, 1 / 2 склянки мелених сухих томатів, 2 / З склянки білого вина, 12 сухих абрикос. На уроках української мови ми часто користуємося числівниками: половина (1/2), третина (1/3), чверть (1/4), півтора (карбованця, відра), півтори (тисячі), півтораста. Давайте уявимо, що яблуко – це наша Земля. Розріжемо його на частинки і побачимо, що 3/4 – покрито водою, 1/4 – суша, 1/8 – поверхня Землі на якій можна жити, 1/8 - пустелі, гори, ліси, 3/32 – місця, де можуть жити люди, 1/32 – поля, де вирощують врожай. І знову дані, записані дробами.
Навіть музика не мислима без дробів. Рахуючи тривалість нот « раз - і - два – і – три - і - …», називаємо початок натурального ряду чисел. А такі назви тривалості нот, як «половина, четвертина, восьма, шістнадцята і т.д.» зображаються дробами. Одним з основних досягнень піфагорійців у математичній теорії музики був спосіб обчислення інтервалів між звуками у звукоряді – піфагорів стрій – це сформульований за методом піфагорійців математичний вираз найбільш типових частотних (висотних) відносин між ступенями музичної системи. Внутрішні пропорції четвериці, згідно з Піфагором, виявляються серед багатьох природних явищ об'єктивного світу, зокрема в законі коливання струни. Створені на цій основі пропорції музичного звукоряду забезпечували найкраще (так зване гармонійне) співзвуччя. Піфагор дослідним шляхом встановив, що 2/3 натягнутої на монохорді струни, наведені у коливання, дають звук точно на чисту квінту вище основного тону, 3/4 струни дають кварту, а половина струни – октаву.
Ми дослідили на скільки дроби є важливі для нас. Вони використовуються в промисловості, медицині, сількому господарстві, музиці, побуті. Звичайні дроби - невід'ємна частина в житті людини, тому цю тему слід вчити всім дуже ретельно.
Досліджуючи питання "Які фактори впливають на здоров'я людини" потрібен точний запис даних, а це можна зробити лише завдяки дробовим числам. В організмі людини кров становить 7,7 % від загальної маси тіла. Швидка втрата 1/3 частини крові є небезпечною для життя людини. 1/12 маси тіла людини становить кров, ½ всієї крові міститься в кровоносних судинах, 1/5 у печінці, 4/25 у селезінці, 1/10 у підшкірних судинах. 3/50 л крові виштовхується за одне скорочення серця.
Звичайні дроби виникли задовго до писемної історії і є одними з найстаріших математичних концепцій. Вони були розвинуті людством для вирішення практичних проблем, пов'язаних з вимірюванням та поділом об'єктів.
Перші згадки про використання дробей можна знайти в стародавніх цивілізаціях Месопотамії (сучасна територія Іраку) і Давньому Єгипті близько 4000 років тому. В Єгипті використовувалися прості дроби для вимірювання земельних ділянок, обчислення об'єму та розрахунків у будівництві.
Вавилонські математики, що жили близько 3000 років тому, використовували систему числення, яка базувалася на числі 60 (сексагесимальна система). Вони використовували звичайні дроби для обчислення часу, вимірювання кутів та розрахунків у торгівлі.
Давні греки, зокрема великі математики, такі як Піфагор, Евклід та Архімед, вивчали властивості та використання звичайних дробів. Вони використовували дроби для обчислення пропорцій, вимірювання геометричних фігур та розрахунків у науці та інженерії.
З часом звичайні дроби стали невід'ємною частиною математики та наукових розрахунків. Вони були розроблені й удосконалені у різних культурах і цивілізаціях, зокрема в Китаї, Індії, Арабському світі та середньовічній Європі.
Історія виникнення звичайних дробів є довгим та складним процесом, який розвивався протягом тисячоліть. Сучасна математика використовує звичайні дроби як основні поняття для вирішення різних математичних задач та застосування в різних галузях науки і технологій.
Римська система дробів була пов'язана з мірою ваги, званої «асс». Вона ділилася на 12 часток. 1/12 асса називалася унцією. Для позначення дробів існувало 18 назв. Наведемо деякі з них:
семис — половина асса; секстанте — шоста частка асса; семиунция — пів-унції або 1/24 асса. Незручність такої системи полягала в неможливості подати число у вигляді дробу зі знаменником 10 або 100. Римські математики подолали труднощі з допомогою використання відсотків.
Вперше дроби почали використовувати на території Єгипту і Вавилона. Підхід математиків двох держав мав значні відмінності. Однак початок і там і там було покладено однаково. Першою дробом стала половина або 1/2. Далі виникла чверть, третину і так далі. Згідно з даними археологічних розкопок, історія виникнення дробів налічує близько 5 тисяч років. Вперше частки числа зустрічаються в єгипетських папірусах і на вавилонських глиняних табличках.
Система числення в Вавилоні була Шістдесяткова. Кожен новий розряд відрізнявся від попереднього на 60. Така система збереглася в сучасному світі для позначення часу і величин кутів. Дробу також були шістдесяткова. Для запису використовували спеціальні значки. Як і в Єгипті, приклади з дробом містили окремі символи для позначення 1/2, 1/3 і 2/3.
Вавилонська система не зникла разом з державою. Дробом, написаними в 60-тірічной системі, користувалися античні і арабські астрономи і математики.
Колись дії зі звичайними дробами завдавали людям надзвичайних труднощів. Ці труднощі у Вавилоні пояснювали "втручанням злих духів". Англійський чернець Бєда, який був ученою людиною свого часу, писав у VII сторіччі: "У світі є багато речей, але немає нічого важчого, як чотири дії арифметики".
Тоді ж, мабуть, і виникла німецька приказка "попасти в дроби", що означала опинитися у скрутному становищі. А причина, звичайно, полягала в тому, що не було встановлено загальних правил виконання дій з дробами, не було створено відповідної теорії.
Звичайні дроби використовувалися в стародавньому світі, особливо в розвинутих цивілізаціях, таких як давній Єгипет, Вавилон, Греція та Рим. Вони використовували дроби для вимірювання кількостей, обчислення площі, об'єму та ваги, а також для розрахунків у торгівлі та інженерних розрахунках.
У давньому Єгипті звичайні дроби були широко використовувані для вимірювання площі земельних ділянок та розрахунків у будівництві пірамід. Єгиптяни використовували систему дробів, де чисельник позначався символом лотосового квіту, а знаменник - символом горщика.
У Вавилоні використовувалася сексагесимальна система числення, що базувалася на числі 60. Вони використовували звичайні дроби для обчислення часу, вимірювання кутів та розрахунків у торгівлі.
Давні греки та римляни також використовували звичайні дроби у своїх розрахунках. Греки використовували дроби для обчислення пропорцій та геометричних фігур. Римляни використовували десяткову систему числення, але також використовували звичайні дроби для обчислення валютних розрахунків та вимірювання об'єму.
Звичайні дроби в стародавньому світі були важливим інструментом математики та практичних розрахунків. Вони допомагали людям виконувати складні розрахунки та вимірювання, що були необхідні для розвитку цивілізацій того часу.
Операції зі звичайними дробами включають додавання, віднімання, множення та ділення. Ось як вони виконуються:
1. Додавання: Щоб додати дві звичайні дроби, спочатку переконайтеся, що знаменники в них однакові. Якщо знаменники різні, спочатку знайдіть спільний знаменник, а потім додайте чисельники. Знаменник залишається незмінним. Наприклад: 1/4 + 3/4 = 4/4 = 1.
2. Віднімання: Для віднімання двох звичайних дробів так само переконайтеся, що знаменники однакові. Якщо знаменники різні, знайдіть спільний знаменник, а потім відніміть чисельники. Знаменник залишається незмінним. Наприклад: 3/4 - 1/4 = 2/4 = 1/2.
3. Множення: Щоб помножити дві звичайні дроби, перемножте чисельники разом і знаменники разом. Наприклад: (2/3) * (4/5) = 8/15.
4. Ділення: Щоб поділити одну звичайну дріб на іншу, помножте перший дріб на обернений другого дробу. Обернений дріб отримується шляхом обміну чисельника та знаменника. Наприклад: (2/3) / (4/5) = (2/3) * (5/4) = 10/12 = 5/6.
Ділення дробів: для того щоб розділити один дріб на інший, необхідно другий дріб перевернути і замінити ділення множення.
Множення дробів: для того, щоб помножити один дріб на інший, необхідно помножити чисельник першого дробу на чисельник другого дробу, а знаменник першого дробу на знаменник другого дробу (і, якщо необхідно, ще виконати скорочення загальних множників).
Додавання (віднімання) дробів: для додавання (віднімання) дробів спочатку необхідно звести їх до загального знаменника, а потім додати (або відняти) чисельники, а знаменник залишиться загальний.
1. Правильні дроби: Це дроби, у яких чисельник менший за знаменник і їх значення лежить між 0 і 1. Наприклад, 1/2, 3/4.
2. Неправильні дроби: Це дроби, у яких чисельник більший за знаменник. Наприклад, 5/4, 7/3.
3. Мішані дроби: Це комбінація цілої частини та дробової частини. Наприклад, 1 1/2, 2 3/4.
Неправильний дрiб можна записати у виглядi цiлого числа разом з дробом. Ми називаємо це мiшаним дробом або мiшаним числом.
Дрiб, у якому число в чисельнику бiльше або дорiвнює числу в знаменнику, називається неправильним дробом.
Правильний дріб називається дріб, у якого чисельник менше знаменника.
7/9, 5/6 — правильні дроби.
