Errores y Dificultades en el Aprendizaje de la Geometría
1. Panorama Curricular de la Geometría en el Nivel Secundario
Primer Ciclo:
■ 1er Grado: Rectas (paralelas, perpendiculares), ángulos (complemento, suplemento), teorema de Pitágoras, sistema de coordenadas cartesianas, volúmenes de prismas rectos y cubos.
■ 2do Grado: Geometría plana (fórmula de Herón, teorema fundamental del triángulo), volúmenes de conos, cilindros, esferas, y representaciones en el plano cartesiano.
■ 3er Grado: Aunque el enfoque es algebraico, se espera que los estudiantes apliquen conocimientos geométricos previos en contextos interdisciplinarios (e.g., representaciones gráficas).
Segundo Ciclo
■ 4to Grado: Congruencia de triángulos (LLL, LAL, ALA), paralelismo, perpendicularidad, circunferencias, poliedros, transformaciones geométricas, volúmenes.
■ 5to Grado: Cónicas (recta, circunferencia, parábola, elipse, hipérbola), vectores, trigonometría (ley de senos, cosenos).
■ 6to Grado: Trigonometría avanzada (fórmulas de suma/diferencia de ángulos, ecuaciones trigonométricas), límites aplicados a funciones geométricas.
2. Errores y Dificultades Comunes en el Aprendizaje de la Geometría
a) Dificultades Conceptuales
Confusión con terminología (Reflina, 2020):
■ 1er Grado: Los estudiantes confunden "paralelo" con "perpendicular" o "ángulo complementario" (90°) con "suplementario" (180°) debido al lenguaje matemático nuevo .
Ejemplo: Un estudiante identifica dos rectas que se cruzan como "paralelas" porque no comprende que el cruce implica que son secantes.
■ 4to Grado: La "congruencia" (LLL, LAL, ALA) se malinterpreta como igualdad total de triángulos, ignorando que solo requiere igualdad en lados y ángulos específicos (página 11).
Abstracción de figuras tridimensionales
■ 1er y 2do Grado: Calcular volúmenes de prismas, cubos o conos es difícil porque los estudiantes no visualizan la relación base-altura.
Ejemplo: Un estudiante calcula el volumen de un prisma usando solo el área de una cara lateral, omitiendo la base.
■ 4to Grado: Los poliedros generan confusión al distinguir caras, aristas y vértices en figuras complejas.
Geometría analítica
■ 2do Grado: Representar figuras en el plano cartesiano es un reto porque los estudiantes no conectan coordenadas con propiedades geométricas.
Ejemplo: Un estudiante grafica el punto (3, -2) como (-3, 2), invirtiendo los ejes.
■ 5to Grado: Las cónicas son abstractas; los estudiantes no relacionan ecuaciones como
𝑥^2+y^2=r^2 con la circunferencia .
Traducción de problemas verbales (Mawarni y Dahlan, 2020
En todos los grados, los estudiantes enfrentan dificultades para convertir descripciones verbales en diagramas geométricos.
Ejemplo: Un problema sobre un terreno triangular en 2do grado no se resuelve porque el estudiante no dibuja el triángulo para aplicar la fórmula de Herón.
b) Dificultades Actitudinales y Cognitivas
Falta de visualización espacial (Juman et al., 2022):
■ En todos los grados, los estudiantes luchan con figuras 3D o transformaciones geométricas (rotaciones, traslaciones) .
Ejemplo: En 4to grado, un estudiante no puede predecir cómo se verá un poliedro tras una rotación.
Miedo a la abstracción
■ En 5to y 6to grado, temas como cónicas y límites generan rechazo por su aparente falta de aplicación práctica.
Ejemplo: Un estudiante evita problemas de cónicas porque "no entiende para qué sirven".
Dependencia de memorización (Araujo et al., 2023)
■ Los estudiantes memorizan fórmulas (Pitágoras, Herón, volúmenes) sin comprender su lógica, lo que limita su flexibilidad en contextos nuevos.
Ejemplo: Un estudiante aplica la fórmula del volumen de un cono v= 1/3πr^2h correctamente en un ejercicio estándar, pero falla al adaptarla a un problema contextualizado.
c) Factores Externos
Falta de recursos manipulativos (Juman et al., 2022):
■ En 1er y 2do grado, la ausencia de modelos físicos (prismas, conos) dificulta la comprensión de volúmenes.
Ejemplo: Sin maquetas, los estudiantes no diferencian un prisma de un cilindro
Enseñanza tradicional (Araujo et al., 2023):
■ Métodos centrados en fórmulas y ejercicios repetitivos limitan la exploración de conceptos como transformaciones geométricas (4to grado) o cónicas (5to grado).
Ejemplo: Un docente explica la ley de senos solo con ejercicios numéricos, sin mostrar su uso en problemas reales como medir alturas.
Desinterés y antecedentes familiares (Juman et al., 2022)
La percepción de la geometría como "difícil" o irrelevante reduce la motivación, especialmente en temas abstractos .
■ Ejemplo: Un estudiante con poca exposición previa a matemáticas en casa muestra menor interés en resolver problemas geométricos.
d) Errores Procedimentales
Trigonometría
■ 5to Grado: Aplicación incorrecta de la ley de senos o cosenos en triángulos inapropiados.
Ejemplo: Uso de la ley de senos en un triángulo rectángulo donde el teorema de Pitágoras sería más directo.
■ 6to Grado: Resolución de ecuaciones trigonométricas sin considerar periodicidad.
Ejemplo: Resolver sen(x)=0.5 solo con
30°, ignorando 𝑥=150°.
Cálculo de volúmenes y áreas
■ 1er Grado: Omisión de conversiones de unidades (cm^3 a m^3) al calcular volúmenes de prismas
Ejemplo: Un estudiante reporta un volumen en cm^3 cuando se le pedia m^3. sin convertir.
■ 4to Grado: Errores al calcular volúmenes de cuerpos truncados por no descomponer figuras en partes simples .
Aplicación incorrecta de fórmulas (Reflina, 2020)
■ 1er Grado: El teorema de Pitágoras se usa en triángulos no rectángulos (página 3).
Ejemplo: Un estudiante aplica
𝑎^2+b^2=c^2 a un triángulo con ángulos de 60°, 70°, 50°, esperando que funcione.
■ 2do Grado: La fórmula de Herón se aplica sin verificar si los lados forman un triángulo.
Ejemplo: Para lados 1, 1, 3, el estudiante intenta calcular el área, ignorando que no forman un triángulo.
■ 5to Grado: Confusión entre ecuaciones de cónicas (e.g., parábola y=x^2 vs y= x^2/a^2
+y^2/b^2.=1.
3. Estrategias para Superar las Dificultades
a) Enfoques Pedagógicos
Uso de manipulativos y visualizaciones (Juman et al., 2022):
■ 1er y 2do Grado: Modelos físicos (bloques, maquetas) para enseñar volúmenes de prismas, cubos, conos.
Ejemplo: Usar cubos de madera para construir prismas y calcular su volumen.
■ 4to Grado: Actividades con regla y compás para explorar congruencia de triángulos.
b) Integración de Tecnología (Araujo et al., 2023)
Software dinámico
■ GeoGebra para graficar cónicas en 5to grado o explorar transformaciones en 4to grado.
Ejemplo: Visualizar cómo cambia una parábola al modificar su ecuación.
■ Desmos para analizar límites de funciones geométricas en 6to grado (página 14).
Videos y simulaciones
■ Tutoriales visuales para clarificar conceptos abstractos como ecuaciones trigonométricas
Ejemplo: Una animación que muestra cómo la ley de senos resuelve un triángulo.
c) Fomento de Actitudes Positivas (Juman et al., 2022):
Conexión con el contexto:.
■ 1er Grado: Relacionar ángulos con objetos cotidianos (e.g., esquinas de muebles) .
■ 4to Grado: Proyectos como diseñar un embalse para calcular volúmenes.
Trabajo colaborativo:
■ Actividades grupales para resolver problemas geométricos, promoviendo el respeto por diferentes enfoques
Ejemplo: En 2do grado, un grupo construye el desarrollo plano de un cono y discute sus dimensiones.
Refuerzo de la confianza:
Celebrar logros pequeños, como trazar correctamente una bisectriz (1er grado) o resolver una ecuación trigonométrica (6to grado).