programmazione matematica

gli esponenziali

bisogna tener conto delle regole delle potenze

a^m · a^n = a^m+n

a^n : a^m = a^n-m

(a^n)^m = a^n · m

a^-n = 1/a^n

a≠0, a≠1, a=1

a^m/n = ⁿ√ a^m

funzioni esponenziali

chiamiamo funzione esponenziale di base a, con a numero positivo diverso da 1, la funzione definita dall'equazione nella forma: y=aⁿ con 0<a<1 e a>1

il suo dominio naturale è R

in esse abbiamo il numero di Nepero "e", ovvero un numero compreso tra due e tre

"e" non è mai radice/soluzione di un'equazione polinomiale a coefficienti interi.

il grafico

prendiamo in considerazione la funzione esponenziale y=3^x, ovvero con base >1

il grafico è contenuto nel semipiano positivo in quanto la potenza 3^x>0 ∀ x∈R

al crescere dei valori della variabile x i corrispondenti valori di y crescono, perciò la funzione y=2^x è crescente

incontra l'asse y nel punto punto (0;1)

prendiamo in considerazione la funzione esponenziale y= (1/4)^x, ovvero con base compresa tra 0 e 1

il grafico è contenuto nel semipiano delle ordinate positive

al crescere dei valori di x i valori di y decrescono, quindi il grafico è decrescente

incontra l'asse y nel punto (0;1)

proprietà

a>1

il campo di esistenza è tutto R e f(x)>0∀x

non incontra l'asse delle x ma quella delle y

0<a<1

il campo di esistenza è R

a^x>0∀ x

(0;1) asse y

equazioni esponenziali

si dice equazione esponenziale quando l'incognita compare nell'esponente di almeno una potenza

si presenta nella forma a^x=b con a>0 e a≠1

presenta un'unica soluzione ovvero sse b>0; se b≤0 è impossibile

disequazioni esponenziali

quando l'incognita appare nell'esponente di almeno una potenza

si presenta nelle forme a^x>b, a^x>b, a^x≤b, a^x≥b

i logaritmi

logₐ(b)=c, dove a è la base e b è l'argomento; si legge "logaritmo in base a di b"

avremo logₐ(b)=c ⇔ b=a^c

dalla definizione di logaritmo si deduce che la base deve essere compresa tra 0 e 1

esistono logaritmi particolari come:

lnx o logx, dove la base è i numero di Nepero

Logx, dove la base è 10

funzione logaritmica

si definisce funzione logaritmica ogni funzione avente come dominio R+; è definita dalla seguente equazione: y=logₐx, con a>0 e a≠0

il grafico è strettamente legato a quello della funzione esponenziale

questo perchè la funzione logaritmica è l'inverso di quella esponenziale

prendiamo in considerazione la funzione logaritmica log₄(x), ovvero con a<1

questa curva è simmetrica a quella esponenziale rispetto alla retta y=a^x, bisettrice nel I° e III° quadrante

deduciamo che log₄(x)→ ∞ per x→0, ovvero il logaritmo tende a meno infinito per x che tende a meno di o

la funzione è crescente

inconta l'asse x nel punto (1;0)

prendiamo in considerazione la funzione logaritmica in base 1/4 di x, ovvero con la base compresa tra 0 e 1

deduciamo che log in base 1/4 di x tende a + infinito per x che tende a 0

la funzione è decrescente

interseca l'asse x nel punto (1,0)

proprietà

logₐ(b·c)=logₐb+logₐc

logₐ(b/c)=logₐb-logₐc

clogₐ(b)=logₐ(b)^c

poichè a^x>0 abbiamo ∀a: 0<a<1, a>1

disequazioni logaritmiche e disequazioni esponenziali risolvibili mediante logaritmi

procedimento

determinare a condizione di esistenza

si riconduce la disequazione mediante le proprietà dei logaritmi, alla seguente forma: logₐf(x)<logₐg(x), o analoga e si risolve prestando attenzione alle CE

la soluzione si trova risolvendo il sistema formato dalle soluzioni della disequzione ottenuta passando ai logaritmi e dalle condizioni di esistenza

goniometria

funzioni goniometriche

sfruttano gli angoli e i radianti

circonferenza goniometrica

una circonferenza che ha il centro nell'origine degli assi e il raggio uguale a 1

seno

sinα = AC/CB

coseno

cosα = AB/CB

tangente

si definisce tangente dell'angolo l'ordinata del punto di intersezione tra il prolungamento del raggio vettore con la retta tangente tangente alla circonferenza nel punto A(1;0)

non esiste quando il coseno è uguale a 0 e quando è di 90°

proprietà

prima relazione fondamentale della goniometria

sen²α + cos²α = 1

sen = √(1- cos²α)

cos = √(1- sen²α)

seconda relazione fondamentale della goniometria

tan= sinα/cosα

la cotangente è il suo reciproco

formule

formule di addizione

cos(α+β)=cosβcosα+sinβsinα

sin(α+β)=sinαcosβ+sinαcosβ

formule di sottrazione

sin(α-β)=sinαcosβ-sinαcosβ

cos(α-β)=cosβcosα-sinβsinα

formule di duplicazione

sin(2α)=2sinαcosα

cos(2α)= cos²α-sin²α

tan(2α)=2tanα/1-tan²α

cot(2α)=cot²α-1/2cotα

formule di bisezione

sin(α/2)= √1-cosα/2

cos(α/2)= √1+cosα/2

parametriche

sinx=2t/1+t², cosx=1-t²/1+t² con t=tgx/2

posto senx-2cosx-1=0 avremo (2t/1+t)-1(1-t²/1+t²)-1/t=0

equazioni goniometriche

equazioni goniometriche elemetari

alcune equazioni si possono ricondurre a quest'ultime tramite le formule goniometriche

equazioni goniometriche di secondo grado in seno, coseno e tangente

alcune equazioni possono essere ricondotte a queste tramite le relazioni fondamentali della goniometria

equazioni lineari in seno e coseno

equazioni in cui l'incognita figura solo come argomento delle funzioni seno e coseno

equazione generale: asinx+bcosx+c=0

se c=0 abbiamo: asinx+bcosx=0

se c≠0 allora l'equazione può essere risolta in più modi

con il metodo grafico

con il metodo algebrico

con il metodo dell'angolo aggiunto

equazioni omogenee di secondo grado in seno e coseno

asin²+bsin²xcosx+ccos²x=0

disequazioni goniometriche

disequazioni goniometriche elementari

sinx>a

cosx>a

sinx<

a

cosx<

a

sinx≥a

cosx≥a

sin≤a

cos≤a

disequazioni riconducibili a goniometriche elementari

mediante sostituzione

facendola diventare una disequazione di secondo grado in coseno

disequazioni goniometriche frazionarie

disequazioni lineari in seno e coseno

si possono facilmente risolvere con il metodo grafico

disequazioni omogenee di secondo grado in seno e coseno

facilmente risolvibili riconducendole a una disequazione di secondo grado in tanx

trigonometria

è quella parte della matematica che tratta le relazioni fra le misure dei lati e le funzioni goniometriche degli angoli di un triangolo

triangoli rettangoli

primo teorema sui triangoli rettangoli

in un triangolo rettangolo la misura di un cateto è uguale a quella dell'ipotenusa moltiplicata per il seno dell'angolo opposto al cateto, o moltiplicata per il seo dell'angolo acuto adiacente

secondo teorema sui triangoli rettangoli

in un triangolo rettangolo la misura di un cateto è uguale a quella dell'alto cateto moltiplicata per la tangente dell'angolo opposto al primo cateto, o moltiplicata per la cotangente dell'angolo acuto adiacente al primo cateto

applicazione dei teoremi sui triangoli

teorema dell'area

dato il primo teorema sui triangoli rettangoli avremo A=(1/2)absinα

teorema della corda

in ogni circonferenza si può dimostrare che la corda è sempre uguale al diametro della circonferenza

AB=2rsinα

teorema dei seni

preso in considerazione il teorema della corda, risulterà vera la seguente uguaglianza: a/sinα=b/sinβ=c/sinγ

quindi possiamo dire che il rapporto tra un lato e il seno dell'angolo opposto rimane costante

a=2rsinα diventa 2r=a/sinα

b= 2rsinβ diventa 2r=b/sinβ

c=2rsinγ diventa 2r=c/sinγ

teorema del coseno

è una generalizzazione del teorema di pitagora

a²=b²+c²-2bccosα

b²=a²+c²-2accosβ

c²=a²+b²-2abcosγ