Catégories : Tous

par Наталія Городюк Il y a 5 années

1385

Правильні многогранники

Правильный многогранник обладает гранями в виде правильных многоугольников с одинаковым числом сторон, причём в каждой вершине сходится одинаковое количество рёбер. Например, правильный тетраэдр представлен четырьмя равносторонними треугольниками, и каждая его вершина объединяет три треугольника, образуя углы в 180 градусов.

Правильні многогранники

Правильні многогранники

Правильним многогранником   є многогранник, грані якого є правильними многокутниками з рівною кількістю сторін, а в кожній вершині многогранника сходиться однакова кількість ребер.

Гексаедр

У куба всі шість граней – квадрати. Кожна з вершин куба є вершиною трьох квадратів. Сума плоских кутів при кожній з вершин куба дорівнює двомстам сімдесяти градусам. Куб має один центр симетрії.

Для куба, довжина ребер якого дорівнює a:

Площа поверхні {\displaystyle 6a^{2}\,}

Діагональ грані {\displaystyle {\sqrt {2}}a}

Радіус описаної сфери {\displaystyle {\frac {\sqrt {3}}{2}}a}

Радіус вписаної сфери {\displaystyle {\frac {a}{2}}}

Об'єм {\displaystyle a^{3}\,}

Просторова діагональ {\textstyle {\sqrt {3}}a}

Радіус сфери, що дотична до ребер {\displaystyle {\frac {a}{\sqrt {2}}}}

Кут між гранями (у радіанах) {\displaystyle {\frac {\pi }{2}}}

Тетраедр

У правильного тетраедра всі чотири грані – рівносторонні трикутники. Кожна з його вершин є вершиною трьох трикутників. Сума плоских кутів при кожній із вершин дорівнює 180 градусам. Правильний тетраедр не має центра симетрії.

У правильного тетраедра з довжиною ребра a:

Площа поверхні \sqrt3a^2\,\!

Об'єм \frac{\sqrt2}{12}a^3

Висота \sqrt\frac{2}{3}a\,\!

Радіус вписаної сфери \frac{\sqrt6}{12}a

Радіус описаної сфери \frac{\sqrt6}{4}a

Кут нахилу ребра \arctan\sqrt2\approx\frac{7}{23}\pi

Кут нахилу грані \arctan2\sqrt2\approx\frac{29}{74}\pi

Октаедр

У правильного октаедра всі вісім граней – рівносторонні трикутники. Кожна вершина октаедра є вершиною чотирьох трикутників. Сума кутів плоских кутів при кожній вершині дорівнює двомстам сорока градусам. Правильний октаедр має центр симетрії.

Площа S і об'єм V октаедра з довжиною ребра а обчислюється за формулами:

{\displaystyle S=2{\sqrt {3}}a^{2}}

{\displaystyle V={\begin{matrix}{1 \over 3}\end{matrix}}{\sqrt {2}}a^{3}}

Ікосаедр

У правильного ікосаедра всі двадцять граней – рівносторонні трикутники. Кожна з вершин ікосаедра є вершиною п’яти трикутників. Сума плоских кутів при кожній з вершин ікосаедра дорівнює трьомстам градусам. Правильний ікосаедр має центр симетрії.

Площа S, об'єм V ікосаедра з довжиною ребра a, а також радіуси вписаної і описаної куль обчислюються за формулами:

S=5{\sqrt 3}a^{2}

V={\begin{matrix}{5 \over 12}\end{matrix}}(3+{\sqrt 5})a^{3}

r={\begin{matrix}{1 \over {4{\sqrt 3}}}\end{matrix}}(3+{\sqrt 5})a

R={\begin{matrix}{1 \over 4}\end{matrix}}{\sqrt {2(5+{\sqrt 5})}}a

Додекаедр

У правильного додекаедра всі дванадцять граней – правильні п’ятикутники. Кожна з вершин додекаедра є вершиною трьох правильних п’ятикутників. Сума плоских кутів при кожній з вершин дорівнює трьомстам двадцяти чотирьом градусам. Правильний додекаедр має центр симетрії.

Розгортка
Властивості
Формули

Площа поверхні A і об'єм V додекаедра зі стороною a можна обчислити за формулами:

{\displaystyle A=(3{\sqrt {25+10{\sqrt {5}}}})a^{2}\approx 20.6457288a^{2}}

{\displaystyle V={\frac {1}{4}}(15+7{\sqrt {5}})a^{3}\approx 7.66311896a^{3}.}

Радіус описаної сфери:

{\displaystyle R=a\phi {\frac {\sqrt {3}}{2}}={\frac {a}{4}}(1+{\sqrt {5}}){\sqrt {3}}\approx 1.4a} , де \phi  - золотий перетин.

Радіус вписаної сфери:

{\displaystyle r={\frac {a}{4}}{\sqrt {10+{\frac {22}{\sqrt {5}}}}}\approx 1.1a}

Двогранний кут між гранями:

{\displaystyle \alpha =2\arctan {\phi }\approx 116.56^{\circ }} , де \phi  - золотий перетин.

Mindomo

À propos de nous
Aide
Contactez-nous
Tarifs
Galerie de cartes mentales publiques
Modèles de cartes heuristiques

Plus d'infos

Blog
Conditions d'utilisation
Politique de confidentialité
Sécurité
Accessibilité
Politique de sécurité

Questions fréquentes

Qu'est-ce qu'une carte mentale?
Mind mapping en ligne
Exemples de cartes mentales
Qu’est-ce qu’une carte conceptuelle?
Modèles de carte conceptuelle