Logaritmo
Como resolver um logaritmo
Existem aqueles logaritmos possíveis de resolver-se de forma direta, apenas com a definição, como fizemos no exemplo anterior. No entanto, resolver logaritmos também exige domínio de equações exponencias, além disso, quando for necessário, deve-se realizar a consulta da tabela de logaritmos decimais para saber o valor de logaritmos que não conseguimos calcular com base em uma equação exponencial.
Calcule o logaritmo a seguir.
vamos aplicar a definição e tentar igualar as bases.
2º passo: igualar as bases quando possível.
3x = 35 → x = 5
1º passo: aplicar a definição para transformar o logaritmo em uma equação exponencial
Algumas aplicações
e usos
Estatística e Data Science
Engenharia
Circuitos elétricos: Análise de sinais, ganho em amplificadores (em dB).
Controle automático e sistemas dinâmicos: Modelos logarítmicos são usados para ajustar respostas.
Economia e Finanças
Crescimento composto: Juros compostos envolvem funções exponenciais, e os logaritmos ajudam a calcular o tempo necessário para dobrar um investimento.
Elasticidade e escalas de retorno: Modelos econômicos usam logaritmos para tratar relações não-lineares.
Computação
Algoritmos: Muitos algoritmos têm complexidade logarítmica, como a busca binária (O(log n)).
Compressão e codificação de dados: Logaritmos são usados na teoria da informação (como no cálculo de entropia de Shannon).
Ciências Naturais
Escalas logarítmicas: Usadas quando os valores variam em ordens de grandeza, como:
pH (química): mede a acidez de uma solução.
Escala Richter (geologia): mede a intensidade de terremotos.
Decibéis (dB) (física): mede intensidade sonora.
Crescimento populacional ou radioativo: Modelado por funções exponenciais e logarítmicas.
Conceitos iniciais
O logaritmo é uma função matemática utilizada para resolver equações exponenciais. Ele representa o expoente ao qual uma base específica deve ser elevada para obter um determinado número. Alguns conceitos iniciais incluem a definição de logaritmo, propriedades dos logaritmos, mudança de base e resolução de equações logarítmicas.
Considere dois números reais positivos a e b, com a ≠ 0. O logaritmo de b na base a é o número x se, e somente se, a elevado a x for igual ao número b.
A potência de base a e expoente logab será igual a b, ou seja
alogab= b
Quando dois logaritmos com a mesma base são iguais, os logaritmandos também serão iguais,ou seja, logab = logac ⇔ b = c.
Quando o logaritmo de a na base a possui uma potência m, ele será igual ao expoente m, ou seja logaam = m, pois usando a definição am = am. Por exemplo, log335 = 5.
Quando o logaritmando
é igual a base, o logaritmo
será igual a 1.
log55 = 1
logaa = 1
*log91 = 0
*log61 = 0
O logaritmo de qualquer base, cujo logaritmando seja igual a 1, o resultado será igual a 0
*log381 = x ⇔ 3x = 81
*Fatoração 81 = 3⁴
*Substitui o 81 por sua forma fatorada,
na equação anterior
EI = Eleva e Iguala
Propriedades dos Logaritmos
Os logaritmos possuem diversas propriedades que nos permitem simplificar cálculos e resolver problemas de maneira mais eficiente. Algumas das propriedades mais importantes são:
1. Produto: log(a * b) = log(a) + log(b)
2. Quociente: log(a / b) = log(a) - log(b)
3. Potência: log(a^b) = b * log(a)
4. Mudança de base: log(a) = log(b) / log(c), onde b é a base do logaritmo a e c é a base desejada.
Essas propriedades nos permitem transformar operações de multiplicação, divisão e potenciação em operações mais simples, utilizando logaritmos. Isso pode ser muito útil em problemas que envolvem números grandes ou cálculos complexos.
Logaritmo de uma raiz
" igual ao inverso do índice da raiz multiplicado pelo logaritmo, em que também mantemos a base."
Base elevada a uma potência
loganb = 1/n * logab
Mudança de base
logbc = logac / logab
Podemos mudar a base de um logaritmo usando a seguinte relação:
Logaritmo de uma potência
é igual ao produto dessa potência pelo logaritmo:
logabm= m * logab
Logaritmo de um quociente
é igual a diferença dos logaritmos:
loga (b/c) = logab - logac
Logaritmo de um produto
é igual a soma de seus logaritmos:
loga (b*c) = logab + logac
