Regresión de series temporales

Modelo de tendencia

yt = Tt + ϵt

yt es el valor de la serie de tiempo en el periodo t.
Tt es la tendencia de la serie de tiempo en el periodo t.
ϵt es el error de la serie de tiempo en el periodo t.

Señala que la serie de tiempo yt se puede representar mediante un nivel promedio que cambia con el tiempo, el término de error ϵt representa las fluctuaciones aleatorias que ocasionan que los valores de la serie de tiempo yt se desvíen del nivel promedio Tt.

Tendencias

Sin tendencia: Que se modela como Tt = β0 quiere decir que no hay declinación o crecimiento durante un largo periodo de la serie de tiempo.

Tendencia lineal: Que se modela como Tt = β0 + β1t, significa que hay un crecimiento lineal durante un largo periodo (β1 > 0) o declinación (β1 < 0) en el tiempo.

Tendencia cuadrática: Que se modela como Tt = β0 + β1t + β2t2
quiere decir que:
hay un cambio cuadrático o curvilíneo durante un largo periodo en el tiempo.

Se dice que existe autocorrelación positiva cuando los términos de error positivos tienden a ser seguidos en el tiempo por términos de error positivos y términos de error negativos tienden a ser seguidos en el tiempo por términos de error negativos

La prueba de Durbin-Watson (D-W), es una prueba formal para la autocorrelación de primer orden, positiva o negativa.

Considere probar la hipótesis nula
H0 : los términos de error no están autocorrelacionados positivamente
contra la hipótesis alternativa
Ha : los términos de error están autocorrelacionados positivamente.
D-W demostrarón que hay puntos (denotados como dL,α y dU,α) tales que si α es el tamaño
de la prueba (máximo tamaño del error Tipo I), entonces
1. Si d < dL,α, entonces se rechaza H0.
2. Si d > dU,α, entonces no se rechaza H0.
3. Si dL,α ≤ d ≤ dU,α, entonces la prueba no es concluyente

La prueba de Durbin-Watson también se puede usar en el caso de la autocorrelación negativa de primer orden. Considere probar la hipótesis nula
H0 : los términos de error no están autocorrelacionados negativamente
contra la hipótesis alternativa
Ha : los términos de error están autocorrelacionados negativamente.
D-W demostrarón que con base en el establecimiento de la probabilidad de un error Tipo
I igual a α, los puntos dL,α y dU,α son tales que
1. Si (4 − d) < dL,α, entonces se rechaza H0.
2. Si (4 − d) > dU,α, entonces no se rechaza H0.
3. Si dL,α ≤ (4 − d) ≤ dU,α, entonces la prueba no es concluyente

La autocorrelación negativa cuando los términos de error positivos tienden a ser seguidos en el tiempo por términos de error negativos y términos de error negativos tienden a ser seguidos en el tiempo por términos de error positivo.

1. La validez de la prueba de Durbin-Watson depende del supuesto de que la población
de todos los posibles residuos en cualquier tiempo t tiene una distribución normal.
2. La autocorrelación positiva se encuentra con más frecuencia en la práctica que la
autocorrelación negativa.
3. No hay dependencia histórica entre las variables yt
.

variación estacional constante cuando la magnitud del cambio estacional no depende del nivel de la serie de tiempo

Con frecuencia se usa una transformación de
la forma

y∗t = yλt , donde, 0 < λ < 1

yt es el valor de la serie de tiempo en el periodo t.
Tt es la tendencia de la serie de tiempo en el periodo t.
St es el factor estacional de la serie de tiempo en el perido t.
ϵt es el error de la serie de tiempo en el periodo t.

variación estacional creciente la magnitud del cambio estacional depende del nivel de la serie de tiempo

Una manera de modelar los patrones estacionales es utilizar variables ficticias: St = βs1xs1,t + βs2xs2,t + ... + βs(L−1)xs(L−1),t

donde se supone que hay L estaciones al año y xs1,t, xs2,t,..., xs(L−1),t son variables ficticias

sigue
xs1,t = { 1, si el periodo t es la estación 1;
0, si no es así.
xs2,t = { 1, si el periodo t es la estación 2;
0, si no es así.
.
.
.
xs(L−1),t = { 1, si el periodo t es la estación L-1;
0, si no es así.

El objetivo de la variable ficticia es asegurar que se incluye un parámetro estacional apropiado en el modelo de la regresión en cada periodo, también observe que el modelo de variable ficticia supone que la serie de tiempo manifiesta variación estacional constante

1. yt = β0 + β1t + β2sen(2πt L) + β3cos(2πtL) + ϵt.
2. yt = β0 + β1t + β2sen(2πtL) + β3cos(2πtL) + β4sen(4πtL) + β5cos(4πtL) + ϵt.

Si la variación estacional es constante, entonces β4=β5 = 0

Componentes

Componente Tendencial: Una serie de tiempo tiene tendencia cuando por largos periodos los valores crecen o decrecen.

Componente cíclico: Se refiere a movimientos hacia arriba y hacia abajo alrededor del nivel de la tendencia. Estas fluctuaciones, medidas de pico a pico, pueden tener una duración larga.

Componente Estacional: Son oscilaciones cuasicíclicas de media cero, que tienen periodicidad anual o de un submúltiplo del año (trimestrales, mensuales, etc.) y se conocen como oscilaciones estacionales.

Fluctuaciones irregulares: Tales movimientos representan “lo que queda” en una serie de tiempo después de que la tendencia, ciclos y variaciones estacionales han sido explicadas.

Plantea que el término de error en el periodo de tiempo t, se relaciona con el término de error en el periodo t − 1 mediante la ecuación ϵt = ϕ1ϵt−1 + at.

Se supone que ϕ1 es el coeficiente de correlación entre términos de error separados por un periodo y a1, a2, ... son valores seleccionados al azar y en forma independiente de entre una distribución normal que tiene media cero y una varianza constante independiente del tiempo.

representado por
yt = β0(β t1)ϵt.

Si β0 > 0 y β1 > 0, aplicando una transformación logarítmica al modelo yt = β0(β t1)ϵt. se tiene
log(yt) = log(β0(βt1)ϵt) = log(β0) + log(βt1) + log(ϵt) = log(β0) + (log(β1))t + log(ϵt).

la versión transformada del modelo
es
log(yt) = α0 + α1t + at. Por consiguiente, el modelo con la variable dependiente log(yt) es lineal en los parámatros
α0 y α1.