Déterminants

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Déterminants

Calculs

Formule de développement selon une ligne

Matrice « damier »

Développement selon la ligne n°i (rare dans les calculs)

Rem : si i=1, c'est la formule de récurrence de la définition

Multilinéarité

Rem : si toutes les colonnes sont dilatées

Cas général d'une combi. linéaire (rare dans les calculs)

Effet dilatation d'une colonne

Ainsi, toutes les propriétés qui sont vraies pour les colonnes le sont aussi pour les lignes !

Alternée

Si on échange deux colonnes, le dét change de signe

Conséquence 2 : det(A)=0 si et seulement si les colonnes de A forment une famille liée. (début preuve)

donc matrice inversible

Conséquence 1 : on ne change pas la valeur du dét si on ajoute à une col. un multiple d'une autre.

Matrices particulières

Matrices triangulaires par blocs (A et B sont carrées !)

Exemple

Matrices diagonales

Matrices triangulaires

Usages

Déterminants de familles de vecteurs (lien avec les bases)

Déterminants d'endomorphismes (lien avec les automorphismes)

Calculs d'hypervolumes

Diagonalisation

Inversibilité et inversion de matrices

Systèmes de Cramer