ТРИГОНОМЕТРІЯ

В першу чергу індійці змінили деякі концепції тригонометрії, наблизивши їх до сучасних. Вони провели заміну античних хорд на синуси (назва синус походить від слова тятива на санскриті) в прямокутному трикутнику. Тим самим в Індії була започаткована тригонометрія як загальне вчення про співвідношення у трикутнику, хоча, на відміну від грецьких хорд, індійський підхід обмежувався тільки функціями гострого кута. Синус індійці визначали інакше, ніж в сучасній математиці під синусом розуміли довжину відрізку, що спирався на дугу кола з радіусом R=3438 одиниць (як у Гіппарха). Таким чином, «індійський синус» кута у 3438 разів більше сучасного синуса і мав розмірність довжини. З цього правила були винятки: наприклад, Брамагупта з неясних причин узяв радіус рівний 3270 одиниць. Індійці першими ввели у використання косинус. Використовувався ще так званий обернений синус

Їх астрономічні трактати, аналогічні індійським сіддхантам, мали назву «зіджи»; типовий зідж являв собою збірку астрономічних і тригонометричних таблиць у супроводі керівництва з їх застосування і (не завжди) викладення загальної теорії. Порівняння зіджів періоду VIII—XIII століть демонструє швидку еволюцію тригонометричних знань. Предметом особливої уваги учених ісламських країн була сферична тригонометрія, методи якої використовувались для вирішення задач астрономії і геодезії. Серед основних проблем, що вирішувалися, були наступні:Точне визначення часу доби.Обчислення майбутнього розташування небесних світил, моментів їх сходу і заходу, затемнень Сонця і Місяця.Знаходження географічних координат поточного місця.Обчислення відстані між містами з відомими географічними координатами.Визначення напряму на Мекку (кібла) з заданого місця.

Після того, як арабські трактати були в XII—XIII століттях перекладені на латину, багато ідей індійських і перських математиків стали надбанням європейської науки. Скоріш за все, перше знайомство європейців з тригонометрією відбулось завдяки зіджу аль-Хорезмі, два переклади якого були виконані у XII столітті. Спершу відомості про тригонометрію (правила її використання, таблиці деяких тригонометричних функцій) наводились у творах з астрономії, однак у творі Фібоначчі «Практика геометрії», написаному близько 1200 року, тригонометрія викладається як частина геометрії. Першим європейських твором, цілком присвяченим астрономії, часто називають «Чотири трактати про прямі й обернені хорди» англійського астронома Річарда Воллінгфордського (близько 1320 р.). Книга містить доведення низки тригонометричних тотожностей і оригінальний метод обчислення синусів. Приблизно у ті ж роки був написаний трактат європейського математика Леві бен Гершома «Про синуси, хорди і дуги», перекладений на латинську мову 1324 року. Книга містить доведення теореми синусів і п'ятизначні таблиці синусів. Тригонометрії торкається «Теоретична геометрія» англійського математика Томаса Брадвардіна (написана у першій половині XIV ст., опублікована у 1495 році). Тригонометричні таблиці, частіше перекладені з арабської, але іноді оригінальні, містяться у працях низки інших авторів XIV—XV століть. Тоді ж тригонометрія обійняла своє місце серед університетських курсів.

Назви тригонометричних функцій пройшли великий шлях, перш ніж набути сучасного вигляду. Давайте розглянемо найпопулярніші з них.

Дослівно термін «тригонометрія» можна перекласти як «вимір трикутників». Основним об'єктом вивчення в рамках даного розділу науки протягом багатьох століть був прямокутний трикутник, а точніше - взаємозв'язок між величинами кутів і довжинами його сторін (сьогодні з цього розділу починається вивчення тригонометрії з нуля). У житті трапляються ситуації, коли практично виміряти всі необхідні параметри об'єкта (або відстань до об'єкта) неможливо, і тоді виникає необхідність відсутні дані отримати за допомогою розрахунків.

Індійці спочатку називали синус «ардхаджіва», тобто половина хорди («джива» - хорда, тятива лука), а пізніше - просто «джива». Це слово було, як вважають, спотворено арабами в «джайб», що означає по-арабськи пазуха, опуклість. Слово «джайб» було переведено в XII в, на латинь відповідним словом sinus.

Косинус індійці називали «котіджіва», тобто синус залишку (до чверті кола). У XV ст. Регіомонтан, як і інші математики, застосовував для поняття «косинус дуги (х)» латинський термін sinus complementi, тобто синус доповнення, маючи на увазі sin (900 - х). Від перестановки цих слів і скорочення одного з них (co - sinus) утворився термін «косинус», що зустрічається в 1620 р., у англійського астронома Е. Гунтера, винахідника обчислювальної лінійки.

У довільному трикутнику сторони пропорційні синусів протилежних кутів.a:sinA=b:sinB=c:sinC

Ставлення боку до синусу протилежного кута дорівнює двом радіусів описаної навколо даного трикутника окружності.a:sinA=b:sinB=c:sinC=2R

Квадрат сторони трикутника дорівнює сумі квадратів двох інших сторін мінус подвоєний добуток цих сторін на косинус кута між ними.a2=b2+c2-2bc*cosAb2=a2+c2-2ac*cosBc2=a2+b2-2ab*cosC

Сучасного вигляду тригонометрії надав Леонард Ейлер. В трактаті «Введення в аналіз нескінченних» (1748) Ейлер навів визначення тригонометричних функцій, еквівалентне сучасному, і відповідно визначив обернені функції. Якщо його попередники розуміли синус та інші поняття геометрично, тобто як лінії в колі чи трикутнику, то після робіт Ейлера sin x, cos x, tg x тощо стали розглядатися як безрозмірні аналітичні функції дійсного і комплексного змінного. Для комплексного випадку він встановив зв'язок тригонометричних функцій з показниковою функцією (формула Ейлера). Підхід Ейлера з тих пір став загальновизнаним і увійшов до підручників.

В інших працях, в першу чергу «Основи сферичної тригонометрії, виведені з метода максимумів і мінімумів» (1753) і «Загальна сферична тригонометрія, коротко та ясно виведена з перших основ» (1779), Ейлер вперше навів повне систематичне викладення сферичної тригонометрії на аналітичних засадах, причому багато зі великих результатів належать самому Ейлеру.

Ейлер розглядав як допустимі від'ємні кути і кути більше 360°, що дозволило визначити тригонометричні функції на всій дійсній числовій прямій, а потім продовжити їх на комплексну площину. Коли постало питання про поширення тригонометричних функцій на тупі кути, знаки цих функцій до Ейлера часто обирались помилково; багато математиків вважали, наприклад, косинус і тангенс тупого кута додатними. Ейлер визначив ці знаки для кутів у різних координатних квадрантах, виходячи з формул зведення. Ейлер вперше навів розкладання тригонометричних функцій у нескінченні добутки (1734), звідки вивів ряди для їх логарифмів.

Тригонометрія на окружності має деякі закономірності. Якщо уважно роздивитися тригонометричне коло із нанесеними на нього значеннями тригонометричних функцій можна помітити, щоsin 180°=sin(180°- 0°)=sin 0°sin 150°=sin(180°- 30°)=sin 30°sin 135°=sin(180°- 45°)=sin 45°sin 120°=sin(180°- 60°)=sin 60°cos 180°=cos(180°- 0°)= - cos 0°cos 150°=cos(180°- 30°)= - cos 30°cos 135°=cos(180°- 45°)= - cos 45°cos 120°=cos(180°- 60°)= - cos 60°

Тригонометричною тотожністю називається рівність, до якої входять тригонометричні функції і яка задовольняється довільним допустимим значенням кута – аргументу тригонометричних функцій, але не задовольняється, якщо кожну тригонометричну функцію зокрема замінити довільною величиною.

Таблиця тригонометричних функцій - це записані в таблицю пораховані значення синусів, косинусів, тангенсів і котангенсів кутів від 0° до 360°. Використовуючи таблицю тригонометричних функцій, ви можете провести розрахунки, навіть якщо під рукою не виявиться інженерного калькулятора. Щоб знайти значення тригонометричних функцій потрібного вам кута, достатньо скористатися відповідною таблицею.

Тригонометрія тісно пов'язана з великою кількістю предметів. Без неї не можуть обійтися багато професій, ось найбільш зв'язані з тригонометрією предмети.

Коливання, при яких зміни фізичних величин відбуваються за законом косинуса або синуса (гармонійному закону), називаютьсягармонійними коливаннями. Механічні коливання  

Які біологічні процеси пов'язані з тригонометрією?Екологічні ритми: добові, сезонні (річні), приливні і місячні цикли.Фізіологічні ритми: ритми тиску, биття серця, артеріальний тиск, три біоритми, що лежать в основі «теорії трьох біоритмів».Модель біоритмів можна побудувати за допомогою графіків тригонометричних функцій.Для цього необхідно ввести дату народження людини (день, місяць, рік) і тривалість прогнозу.

Тригонометрія використовуються в астрономії (особливо для розрахунків положення небесних об'єктів, коли потрібно сферична тригонометрія), в морській та повітряній навігації, в теорії музики, в акустиці, в оптиці, в аналізі фінансових ринків, в електроніці, в теорії ймовірностей, в статистиці, в біології, в медичній візуалізації (наприклад, комп'ютерна томографія і ультразвук), в аптеках, в хімії, в теорії чисел, в метеорології, в океанографії, в багатьох фізичних науках, в межування і геодезії, в архітектурі, в фонетиці, в економіці, в електротехніці, в машинобудуванні, в цивільному будівництві, в комп'ютерній графіці, в картографії, в кристалографії, в розробці ігор і багатьох інших областях.