История доказательства Великой теоремы Ферма

В неопределённом анализе ал-Ходжанди попытался доказать, что сумма двух кубических чисел не может быть кубическим числом — частный случай великой теоремы Ферма. Это доказательство не сохранилось; о нём упоминает в своём сочинении Ибн ал-Хусайн.

В письме к прусскому математику Христиану Гольдбаху в августе 1753 года Эйлер сообщил, что ему удалось приспособить метод бесконечного спуска и успешно доказать Великую теорему Ферма для случая n=3. Так через сто лет после смерти Ферма впервые удалось сделать первый шаг на пути к решению его проблемы.Но этот метод потребовал ещё много лет, чтобы теория, которой необоснованно пользовался Эйлер при своём доказательстве, была доказана Гауссом.

Несколько позже сам Ферма опубликовал доказательство частного случая для n = 4 , что добавляет сомнений в том, что у него было доказательство общего случая.

Доказательство теоремы Ферма для случая, когда n = 5, предложили в 1825 году почти одновременно Лежен Дирихле и Лежандр. Своё доказательство Дирихле опубликовал в 1828 году, но оно было очень сложным, и в 1912 году его упростил Племель.

Для следующего простого показателя n = 7 теорема Ферма была доказана лишь в 1839 году Ламе. Доказательство Ламе было почти сразу же усовершенствовано Лебегом.

В 1847 году Ламе объявил, что ему удалось найти доказательство теоремы Ферма для всех простых показателей n = 3. Метод Ламе представлял собой весьма далёкое развитие идей Эйлера и основывался на арифметических свойствах чисел. Однако сразу же Лиувилль обнаружил в рассуждениях Ламе серьёзный пробел, чем опровергнул это доказательство. Ламе был вынужден признать свою ошибку.

Куммер показал, что теорема верна для всех простых n, меньших 100, за возможным исключением т. н. иррегулярных простых 37, 59, 67.Он показал, что полное доказательство Великой теоремы Ферма лежало запределами возможностей существовавших математических подходов. Это былблестящий образец логики и в то же время чудовищный удар по целомупоколению математиков, питавших надежду, что именно им удастся решить самуютрудную в мире математическую проблему.После работ Эрнста Куммера надежды найти доказательство ослабли, какникогда прежде. Кроме того, в математике начали развиваться различные новыеобласти. Возник риск, что новое поколение математиков останется в неведенииотносительно неразрешимой проблемы.

На ЭВМ, пользуясь идеями Куммера и Вандивера доказали справедливость теоремы Ферма для всех простых показателей n < 100000.

Несколько лет Жермен проработала над ее доказательством и, наконец, достигла такого этапа, когда ей показалось, что она смогла продвинуться к желанной цели. Возникла насущная необходимость обсудить полученные результаты с коллегой, специалистом по теории чисел, и Жермен решилась обратиться к самому большому специалисту по теории чисел — немецкому математику Карлу Фридриху Гауссу.

В 1920 году Давид Гильберт, которому тогда было пятьдесят восемь лет, прочитал в Гёттингене публичную лекцию на тему Великой теоремы Ферма. На вопрос о том, будет ли эта проблема когда-нибудь решена, Гильберт ответил, что на его веку это вряд ли произойдет, но более молодые слушатели, возможно, станут свидетелями ее решения. Предсказание Гильберта относительно даты, когда будет доказана Великая теорема Ферма, оказалось исключительно точным. Лекции Уайлса должны были состояться очень вовремя, если вспомнить условия премии Вольфскеля. В своем завещании Пауль Вольфскель указал последнюю дату: 13 сентября 2007 года.

«Однажды вечером, в конце лета 1986 года, я попивал чай в гостях у своего приятеля. В беседе он между прочим упомянул о том, что Кену Рибету удалось доказать существование взаимосвязи между гипотезой Таниямы–Шимуры и доказательством Великой теоремы Ферма. Я почувствовал себя так, словно через меня пропустили мощный электрический разряд. Мне сразу стало ясно, что отныне весь ход моей жизни круто изменился: ведь от доказательства Великой теоремы Ферма меня отделяло теперь только одно препятствие: доказательство гипотезы Таниямы–Шимуры. Значит, моя детская мечта — не пустой звук, а вполне реальное дело, которым стоит заниматься. Не медля ни минуты, я отправился домой и принялся за работу».

Действительно, теперь математики могли подходить к доказательству Великой теоремы Ферма, придерживаясь стратегии доказательства от противного. Чтобы доказать, что Великая теорема Ферма верна, математики исходили из предположения, что она неверна. Из этого бы следовало, что гипотеза Таниямы–Шимуры неверна. Но если бы можно было доказать, что гипотеза Таниямы–Шимуры верна, то из этого следовало бы, что и Великая теорема Ферма должна быть верна.

Теория Ивасавы сама по себе была недостаточна. Метод Колывагина-Флаха сам по себе также был недостаточен. Но взятые вместе, они идеально дополняли друг друга.

Профессор Ник Катц также работал на математическом факультете Принстонского университета и знал Уайлса несколько лет. Катц пришел к заключению, что метод Колывагина–Флаха работает превосходно. Никто из остальных сотрудников математического факультета не подозревал о том, что происходит. Никто и не думал, что Уайлс может в самом ближайшем времени заявить о своих притязаниях на самый важный приз в математике. План Уайлса и Катца удался на славу.

«В тот год я очень упорно работал, пытаясь усовершенствовать метод Колывагина–Флаха, но оказалось, что этот метод сопряжен с необычайно тонкой техникой, которой я по-настоящему не владел. Было необходимо проделать колоссальный объем довольно трудных вычислений, для выполнения которых мне нужно было выучить много нового."

Предложенное Уайлсом доказательство Великой теоремы Ферма опирается на доказательство гипотезы, родившейся в 50-е годы XX века. Его используют ряд математических методов, созданных за последнее десятилетие, в том числе им самим. Доказательство Уайлса -- шедевр, оно не совпадает с доказательством Ферма. Ферма написал на полях своего экземпляра «Арифметики» Диофанта, что недостаток места не позволяет ему привести доказательство. Доказательство Уайлса занимает 100 страниц убористого математического текста и заведомо удовлетворяет критерию Ферма (это доказательство невозможно воспроизвести на полях «Арифметики»), но Ферма не были известны ни модулярные формы, ни гипотеза Таниямы-Шимуры, ни группы Галуа, ни метод Колывагина-Флаха.

Основной результат учёного — создание в 1974 году теории, названной его именем — геометрии Аракелова, в которой предложен вариант диофантовой геометрии, основанный на применении теории пересечений для арифметических поверхностей. Работа была заочно представлена на Международном конгрессе математиков 1974 года в Ванкувере.

Профессор Колывагин и Матиус Флах разработали необычайно мощный математический метод, но ни тот, ни другой не поняли, что Уайлс вознамерился использовать их метод при решении самой трудной проблемы в мире.

В 1908 году немецкий любитель математики Вольфскель завещал 100 000 немецких марок тому, кто докажет теорему Ферма.