Fracciones Parciales

Las fracciones parciales son fracciones formadas por polinomios, en las que el denominador puede ser un polinomio lineal o cuadrático y, además, puede estar elevado a alguna potencia.

Caso 1.

Los factores de q(x) son todos lineales y ninguno se repite. Es decir:

q(x)= (a1x + b1) (a2x + b2) …(asx + bs).

Allí ningún factor lineal es idéntico a otro. Cuando este caso ocurre escribiremos:

p(x)/q(x)= A1/(a1x + b1) + A2/(a2x + b2) … + As/(asx + bs).

Donde A1,A2,…,As son las constantes que se quieren encontrar.

Caso 2.

Los factores de q(x) son todos lineales y algunos están repetidos. Supongamos que (ax + b) es un factor que se repite «s» veces; entonces, a este factor le corresponden la suma de «s» fracciones parciales.

As/ (ax + b)s + As-1/ (ax + b)s-1 + … + A1/(ax + b).

Donde las As,As-1,… , A1 son las constantes por determinar.

Caso 3.

Los factores de q(x) son lineales cuadráticos, sin ningún factor cuadrático repetido. Para este caso al factor cuadrático (ax2 + bx + c) le corresponderá la fracción parcial.

(Ax + B)/(ax2 + bx + c)

Donde las constantes A y B son las que se desean determinar.

Caso 4.

Finalmente, el caso 4 es aquel en el que los factores de q(x) son lineales y cuadráticos, donde algunos de los factores lineales cuadráticos se repiten.

En este caso, si (ax2 + bx + c) es un factor cuadrático que se repite «s» veces, entonces la fracción parcial correspondiente al factor (ax2 + bx + c) será:

(A1x + B)/ (ax2 + bx + c)+…+ (As-1x + Bs-1)/(ax2 + bx + c)s-1 + (Asx + Bs)/(ax2 + bx + c)s

Donde los As, As-1,…, A y Bs, Bs-1,…, B son las constantes que se quiere determinar.

Deseamos descomponer en fracciones simple la función racional:
(x – 1)/(x3+3x2+2x)

1- Procedemos a factorizar el denominador, es decir:
x3 + 3x2 + 2x = x(x+1)(x+2)

Luego:
(x – 1)/(x3+3x2+2x) = (x – 1)/ x(x+1)(x+2)
(x – 1)/ x(x+1)(x+2) = A/x + B/(x + 1) + C/(x + 2)

2- Aplicando mínimo común múltiplo, se puede obtener que:
x – 1 = A(x + 1)(x + 2) + B(x + 2)x + C(x + 1)x.

3- Deseamos obtener los valores de las constantes A, B y C, los cuales se pueden encontrar sustituyendo las raíces que anulan cada uno de los términos. Sustituyendo 0 por x tenemos:

0 – 1 = A(0 + 1)(0 + 2) + B(0 + 2)0 + C(0 + 1)0.
– 1 = 2A
A= – 1/2.

4- Sustituyendo – 1 por x tenemos:
– 1 – 1 = A(– 1 + 1)( – 1 + 2) + B(– 1 + 2) (– 1) + C(– 1 + 1)( – 1).
– 2= – B
B=2.

5- Sustituyendo – 2 por x tenemos:
– 2 – 1 = A(– 2 + 1)( – 2 + 2) + B(– 2 + 2) (– 2) + C(– 2 + 1)( – 2).
–3 = 2C
C= –3/2.

De esta forma se obtienen los valores A = –1/2 , B = 2 y C = –3/2.De esta forma se obtienen los valores A = –1/2 , B = 2 y C = –3/2.