FUNCIONES COMPLEJAS Una función compleja es una relación que asigna cada elemento en el plano X,Y al plano U,V. Además el dominio y el rango de las funciones complejas son subconjuntos del conjunto C de los números complejos.

Las funciones polinómicas son una de las principales funciones complejas elementales. Su aspecto formal es como el de las funciones polinómicas reales f(z) = anzn + an-1zn-1 + ··· + a0, amb con la condición de que para las funciones polinómicas complejas los coeficientes ai pueden ser números complejos y que, como en el caso real, los exponentes de la variable z son números naturales. Veamos algunos ejemplos:

f(z) = 3z f(z) = 3z -2 f(z) = (3 -2i)z -(2 + 3i) f(z) = z2 -3z + 10

Las funciones trigonométricas complejas deben ser también una generalización de las funciones reales correspondientes (seno y cosen). Sin embargo, nos encontramos con el problema de que las propiedades geométricas del plano real y en particular la definición de ángulo no se pueden extender intuitivamente al caso complejo. La generalización adecuada de las funciones seno y coseno se hará, en este caso, a partir de las fórmules de Euler:

e i x = cos x + i sin x
e − ix = cos x − i sin x

Para z ∈ C definimos las funciones trigonométricas complejas siguientes:
cos z = e i z + e − i z 2
sin z = e i z - e − i z 2 i
tan z = sin z cos z

En álgebra abstracta, se define un número complejo hiperbólico como aquel que tiene dos componentes reales x e y, y se escribe z = x + y j, donde j 2 = 1. El conjugado de z es z∗ = x − y j. Dado que j 2 = 1, el producto de un número z por su conjugado es zz∗ = x 2 − y 2, una forma cuadrática isotrópica que se corresponde con la expresión N(z) = x 2 − y 2.

Las conocidas funciones trigonométricas circulares con argumento real x:

sh(x)
ch(x)
th(x)
coth(x)

Una función logaritmo complejo es una "función inversa" de la función exponencial compleja, de la misma manera que el logaritmo natural ln x es la función inversa de la función exponencial ex. Entonces, un logaritmo de z es un número complejo w tal que ew = z.1 La notación para tal w es log z.

EJEMPLO: Si queremos calcular el logaritmo neperiano del número complejo z=1+ 3 i debemos calcular previamente el módulo y el argumento de z:
| z |=2       ,    arg⁡z= ∏ 3
y entonces su logaritmo neperiano es:

Logz=log⁡2+i( ∏ 3 +2k∏ )            ,    k∈ℤ

Si se considera k=0 en la definición del logaritmo neperiano se obtiene el logaritmo o la rama principal,

w=Log⁡z=log⁡r+iϕ 

Igual que en el caso de las funciones reales, se puede definir el logaritmo cuando la base no es el número e. Si z,w∈ℂ se define el logaritmo en base z de w como

Log⁡ z w= Log⁡w Log⁡z

De la misma manera que para definir la exponencial para exponentes enteros negativos se comienza por dar sentido a a-1 y se define a-1 = 1 a y de forma parecida se hace para exponentes fraccionarios definiendo formalmente a mn = amn, para extender la definición de la exponencial real a la función exponencial compleja se formaliza primero de todo la definición para el caso en que el exponente sea un número imaginario puro.

EJEMPLO: Estudiamos cuál es el valor de e3+2i. Con una calculadora de bolsillo podemos buscar los valores que aparecen en la fórmula que define la exponencial compleja, es decir, si z = 3 + 2i entonces ez = e3 ·(cos2 + isin2). Observamos que e3 = 20,0855 y que cos2 = -0,41615 y sin2 = 0,90930 (recordad que debéis tener puesto el modo RAD) y entonces, si hacemos las operaciones, obtenemos e3+2i = -8,3585 + 18,2637i. Obtenemos este mismo valor si calculamos directamente con la calculadora Wiris (o cualquier otro software similar) e3+2i.