FUNDAMENTOS MATEMÁTICOS

La presion esta relacionada con la temperatura

Una persona se la relaciona con un numero de identidad

Cada articulo de un almacén tiene un precio

Cada cliente da un banco tiene numeros de cuentas asociadas

El saldo del celular esta relacionado con la cantidad de minutos en llamadas

Conjuntos

Conjuntos y subconjuntos, pertenencia e inclusion.
Definicion (informal de conjunto y elementos.) Un conjunto es una coleccion de
objetos, llamados elementos, que tiene la propiedad que dado un objeto cualquiera, se puede

decidir si ese objeto es un elemento del conjunto o no.

El orden de los elementos no importa en un conjunto, y en un conjunto
no se tiene en cuenta repeticiones de elementos.
Se dice que cada elemento a de un conjunto A pertenece al conjunto A, y se nota a ∈ A. Si un

objeto b no pertenece al conjunto A, se nota b /∈ A.

Relaciones

En lo que sigue daremos la formalizacion matematica de la nocion de relacion que usamos
constantemente en el lenguaje.
Definicion (Relacion.) Sean A y B conjuntos. Un subconjunto R del producto car-

tesiano A × B se llama una relacion de A en B. Es decir R es una relacion de A en B si

R ∈ P(A × B).

Sin embargo, cuando el conjunto A es finito (como en este caso), una relacion R en A se puede
representar tambien por medio de un grafo dirigido, o sea un conjunto de puntos (llamados
vertices, que son los elementos del conjunto A) y un conjunto de flechas entre los vertices, que

se corresponden con los elementos relacionados: se pone una

Función

En esta seccion volvemos a considerar relaciones de un conjunto A en un conjunto B y formali-
zamos la nocion de funcion, que todos sabemos que es una asignacion que a cada elemento de un
conjunto de partida A le hace corresponder algun elemento de un conjunto de llegada B. Como

por ejemplo la famosa funcion cuadratica:

Ser inyectiva, sobreyectiva y biyectiva son propiedades que se chequean a nivel del codominio:
en las representaciones graficas, ser inyectiva significa que a cada elemento del codominio le
llega a lo sumo una flecha, o en el producto cartesiano, que si se trazan rectas horizontales, se

corta el grafo de la funcion a lo sumo corta en un punto. Ser sobreyectiva significa que a cada

elemento del codominio le llega por lo menos sumo una flecha, o en el producto cartesiano, que

si se trazan rectas horizontales, siempre se corta el grafo de la funcion en al menos un punto.

Biyectiva significa que a cada elemento del codominio le llega exactamente una flecha, o en el

producto cartesiano, que si se trazan rectas horizontales, siempre se corta el grafo de la funcion

en exactamente un punto.

Funciones trigonometrícas

Para entender con mayor facilidad el estudio de este tipo de función, se debe entender
un ángulo como la unión de dos rayos que tienen vértice común, uno de los cuales se
denomina lado inicial, y el otro (que resulta de rotar el lado inicial alrededor del vértice),

se denomina lado final. Si la rotación se hace en el sentido contrario a las manecillas de

un reloj, se afirma que el ángulo está orientado positivamente o que es positivo, de lo

contrario se asegura que el ángulo es negativo. Las figuras 11 y 12 ilustran esta definición.

Funciones especiales

Por parte o trosos

Este tipo de funciones poseen un dominio definido por
varios intervalos y para cada uno de ellos, existe una regla
que permite encontrar el correspondiente contradominio. Se
debe tomar cada parte como una función independiente,
esto para lograr comprenderla con facilidad.

Idéntica o identidad

Inclinación de un elemento ideal, natu-
ral o constructivo respecto de la hori-
zontal (la tangente inversa del valor
de la "m" es el ángulo en radianes). P,
caso particular de la tangente a una
curva cualquiera, en cuyo caso repre-
senta la derivada de una función en el
punto considerado, y es un parámetro
relevante en el trazado altimétrico de
carreteras, vías férreas, canales y otros
elementos constructivos.

Constante

Es aquella cuyo valor no depende de ninguna variable, y se puede representar como
una función matemática de la forma: f(x)=h donde h hace parte de los números reales
y además es una constante.

Dominio y recorrido de una función

Como se estableció anteriormente el dom f ⊂ X en tanto la ran f ⊂ Y se pueden estable-
cer los elementos de la variable independiente que intervienen en la función y de acuerdo
a estos los valores que intervienen en la variable dependiente.

Una funcion de un conjunto a a un conjunto b es una reglaque se asigna a cada elemento de a exactamente un elemento b.

Elementos de una funcion

Si M y N hace referencia a dos conjuntos, entonces quiere decir que una función de M
en N, es una regla que asigna a cada elemento x de M un solo elemento y de N. Se nota f:
M→ N. El elemento y se denomina la imagen de x mediante f. La imagen de un elemento

x se nota también como f (x) que se lee “de x”.

Funciones inyectivas, suprayectivas y biyectivas

La función inyectiva es una función (uno a uno) si a cada punto del dom f
tiene imágenes diferentes En otros términos,
f es inyectiva sí

a) A todo elemento del dominio se le puede asociar un elemento del codominio
b) Ningún elemento del dominio puede quedarse sin un asociado en el codominio
c) Ningún elemento del dominio puede tener más de un asociado en el codominio.

Funcion Inversa

Nótese como no todas las funciones tienen inversa, sólo aquellas que sean biyectivas. En los siguientes
diagramas se aprecia que f si tiene inversa y g no tiene inversa, ya que no cumple con la condición de
ser función biyectiva.

Funcion defininas por intervalo

Una función f (x) puede estar definida por intervalos de forma tal que tiene un comportamiento distinto
en cada sección, por lo que se pueden presentar cambios bruscos en su desarrollo. Su dominio está
dado por la unión de sus intervalos.

Representacion grafica de funciones

La gráfica de una función contiene todos los puntos que representan parejas ordenadas de la forma
(x, y) en el plano cartesiano tales que satisfacen la ecuación3
.

Como en una función f , cada número x en el dominio tiene una y solo una imagen, no todo grupo de puntos en el plano

cartesiano representa la gráfica de una función. Por tanto, la gráfica de una función f
no puede contener dos puntos con la misma
abscisa x y diferentes ordenadas y . Para fines prácticos, para saber si una gráfica representa a una función basta con trazar
líneas verticales, y si las intersecta en un solo punto, es función.