Determinantes y Sistema de Ecuaciones Lineales

Sistema de ecuaciones Lineales pueden ser escritas de forma matricial y su solución se realiza usando reglas de matrices.

A * X =b A-COEFICIENTE X-INCONITA-RESULTADO

X=A∧-1 b

Son grupo de números ordenados, cuyas posiciones de ubicación seran dadas

EN FILAS ➡

EN COLUMNAS ⬇

a(ij)

i- elemento de la fila

- elemento de la columna

A∧-1

Matriz que resultaba matriz A y que al multiplicar su resultaba sera matriz identidad

A*A∧-1=A∧-1=A∧-1*A=I

NOTA: Matriz que no tenga inverse se denomina como no singular o invertible.

Se realiza entre vectore y la primera matriz

Vectores columba de la segunda matiz

Necesario que tengan igual dimensión

NOTA: Para realizar el producto el Nª de columnas de la 1ª matriz debe ser igual al Nª de filas de la segunda matriz

Am*n X Bn*p= Cmp

V1=(Vx,Vy)=(Vc Vy)

Sub matrices por cada elemento de la matriz

Son de tamaño n-1 y m -1 en el que se elimina la fila y la columna del elemento correspondiente

Con un determinante de cada multiplacdo por -1 elevado a la suma de fila y la columna

Una matriz que tenga una fila o columna de 0 su determinante es 0

Si una matriz B se obtiene al sumar o restar K veces una fila o columna de una matriz A/ Las dos matrices tienen igal determinante

DETERMINANTE DE MATRICES DE 2X2

Se reduce a multiplicar los elementos de la diagonal principal (+) y diagonal secundaria(-)

DETERMINANTE DE MATRICES DE 3X3

Aumentar las dos primeras filas o las dos primeras columnas y multiplicar los elementos de las 3 diagonales (+) y los elementos en las 3 diagonales (-)

Calculo de determinantes de orden superior 3*3

Desarrollo de cofactores

Determinante es la suma de los productos entre los elementos de fila o columna por el cofactor determinante

Se considera una filo o una columna cualquiera

La fila o columna que se debe seleccionar es la que ten mayor numero de 0, con ello evitar calcular cofactores

w=(Wx,Wy.Wz)=(Wx,Wy,Wz)

Matriz Cuadrada

Número de filas, igual al numero de columnas

i≤j -- 1≤i≤n -- 1≤j≤n

Matriz cuadrada

Los elementos fuera de la diagonal son ceros

Matriz cuadrada

Los elementos fuera de la diagonal son ceros

Iguales los que se encuentran en la diagonal

Los elementos De la diagonal es 1 y el resto 0

Matriz cuyos elementos son 0 y 1

(A∧T)- Matriz cuyas filas se tranforman

Resultado de una matriz cuyos elementos son K veces el valor original donde K es escalar

COMBINACIÓN LINEAL DE MATRICES DE IGUAL TAMAÑO

La suma de matrices multiplicadas cada una por un escolar

Sean Gi, G2 , G3 ....Gn escolar y A1,A2,A3,An matrices de igual tamañano

Entonces: C1A1+C2A2+C3A3...+CnAn es una combinación lineal

Formada por la matriz de coeficiete(A) y matriz resultado (b) separados por una vertical

PRODUCTO DE ESCALARES

1) (C1+C2)A=C1A+C2A

2) C1(A+B)=C1A+C1B

3) C1(A+B)= A(C1B) = ((1A) B

1) (A∧T)∧T=A

2) (A+B)∧T=A∧T+B∧T

3) (AB)∧T=B∧T*A∧T

4) (C1+A)∧T=C1*A∧T

PROPIEDADES DE MATRIZ INVERSA

1) (A∧-1)∧-1=A

2) (A*B)∧-1=B∧-1-A∧-1

3) (A∧T)-1=(A∧T)∧T

FORMA DE CALCULO

Se escribre la matriz ampliada

Lado derecho de la vertical se coloca la matriz identidad

se transforma en una escalonada reducida por filas (gauss jordan)

matriz obtenida en el lado derecho es la matri inversa

TEOREMA

Una matriz B es inversa a una matriz A y si oslo si A,B= B,A =J

Si la matriz A tiene inversa(A∧ -1)entonces una matriz inversa 2, UNICA

Si la matriz aumentada tiene filas con unicamente 0 deben econtrarse al final

El primer elemento diferente de 0 al leer de izqueirda a derecha debe ser 1 llamado 1 principal

El uno principal en las filas debe encontrarse abajo ya la derecha del uno principal de la fila procedente

En una columna que se encuentre el uno priincipal el resto de elementos son 0

Se puede realizar operaciones elementales sin alterar el sistema de ecuaciones

A una fila de la matriz se puede multiplicar por una constante diferente de 0

A una fila se lo puede intercambios con otra fila

A una fila cualquiera se puede sumar o restar k veces otra fila

Si las constantes son 0 son independientes

Al no existir contantes significaría que son ceros

C1,C2 = 0

Si las constantes son distintos de 0 son dependientes

C1,C2 ≠ 0

Equivalentes

Si una matriz B / tamaño mxn /se obtiene mediante un numero finito de operaciones elementales./ sobre la matriz A de un tamaño mxn

Entonces dos matrices son equivalentes or filas

TEOREMA

Si se tiene dos sistemas de ecuaciones de igual tamaño se presenta todos por sus matrices ampliadas

IGUAL SOLUCION

GAUSS

Mediante operaciones elementales se obtiene una matriz escalonada por filas

Incógnitas o Variables- ultima fila y reemplazando en la fila anterior para encontrar el resto de incógnitas

TEOREMA

Si se tiene dos sistemas de ecuaciones de igual tamaño se presenta todos por sus matrices ampliadas

IGUAL SOLUCION

GAUSS JORDAN

Mediante operaciones elementales se obtiene una matriz escalonada reducida por filas

Incógnitas o Variables- Se obtiene de forma directa

Matriz cuadrada

Convierte- en numero

a cada matriz le corresponde un numero

NOTACION

Determinante de una matriz se denota con la letra de la matriz y dos rayas verticales a sus costados.

Forma de calculo

Existen reglas de calculo de 2x2 y 3x3, para matrices 4x4 existen metodos diferentes.

Una Matriz tiene dos filas o dos columnas iguales 0 multiplos entre ellos su determinante es 0

Si una matriz B se realiza intercambiendo 2 filas o 2 columnas de una matriz A, entonces det(A)=-det(B)

El determinante de una matriz triangular suoerior o triangular inferior es el producto de los elementos de la diagonal

Los determinantes de una matriz cuadrada y de su transpuesta tienen IGUAL VALOR. det(A)=det(A∧T)

El determinante de un producto de matrices es igual al producto de los determinantes

Si un sistema de m ecuaciones y incognitas tiene como caracteristicas que m es menor que n mcn, el numero de ecuaciones es menor que el numero de incognitas entonces el sistematiene al menos una solucion

Sea un sistema de ecuaciones donde m=n, igual numero de ecuaciones que de incognitas.

El determinante de una matriz inversa es igual a la division de uno para el determinante de la matriz, siemore y cuando el determinante de la matri sea diferente de 0

det(A) ≠ 0

Si un sistema de m ecuaciones y incognitas tiene como caracteristica que m es menor que n m < n, el numero de ecuaciones es menor que el numero de incognitas entonces el tiene al menos una solucion.

Sea un sistema de ecuaciones donde m=n igual numero de ecuaciones que de incognitas

Los deter,omamtes de una matriz cuadrada y de su traspuesta tienen IGUAL. det A = det (A∧T)

El determinante de un producto de matrices es igual al producto de los determinantes

Son aquellos sistemas de ecuaciones lineales cuya matriz de resultado es 0

Cunado una de las matrices sea diferente de cero sera Rango=3 -------- Caso contrario Rnago <3

El sistema de ecuaciones AX=0 tiene solucion adicional a la trivial si el m<n

m= numero de ecuaciones

n= numero incognitas

Es un metodo que se puede encontrar en algoritmo para resolver sistema de ecuaciones con igual numero de ecuaciones como de incongnitas (m=n)

El producto de U*L no dara la matriz a = L*U ≠ A

U = matriz triangular superior

L= matriz triangular inferior

El metodo consiste en descomponer o factorar la matriz A en dos matrices tiangular superior (U) y truangular inferior (L) del tal manera que A= L*U

El objetivo es encontrar la matrix X

AX=B (L*U)x=B L(UX)=B L(Z)=V

MATRIZ ADJUNTA: Es una matriz cuadrado forma, que son los cofactores.

Adj (A)=La matriz transpuesta de la matriz de cofactores

Teoterema A: Sea una matriz cuadrada n*n y su matriz adjunta

Adj(A)*A=A*Adj(A)=det(A)I

COROLARIO-----Si la igualdad del teorema anterior multiplicamos a los dos lados por la inversa se obtiene

FORMULA

A*Adj(A)=det(A)*I

(A∧-1*A)*Adj(A)=A∧-1*det(A)*I

I*Adj(A)=det(A)*A∧-1

Adj(A)= det(A) * A-1

A∧-1=1/(det(A))*Adj (A)

Es el número de filas que sea linealmente independientes

El rango es el número de filas diferente de 0

Transformar matriz a escalonada por filas