ESPACIOS VECTORIALES

Combinación lineal

Sean los vectores v1, v2, v3, ……, vk elementos de un espacio vectorial V, entonces cualquier elemento v de V es combinación lineal
de v1, v2, v3, …… , vk si existen constantes no todas igual a cero (0) tal que:
v = c1v1 + c2v2 + c3v3+ ……. + ckvk

c1, c2, c3, ……, ck constantes

Linealmente dependientes o
independientes

• Los vectores v1, v2, v3, …, vk elementos de un espacio vectorial V son linealmente dependiente si las constantes c1, c2, c3, …, ck NO TODAS
iguales a cero (0)
C1v2 + c2v2 +c3v3 + ……. + ckvk = 0

• Si los únicos valores de c1, c2, c3, …, ck son cero (solución trivial) entonces v1, v2, v3, …, vk son linealmente independientes
c1 = c2 = c3 = … = ck = 0

Generador

Sea s = {v1, v2, v3, ………, vk} un conjunto de vectores, es un espacio vectorial v, entonces el conjunto de todos los vectores en V que son
combinación lineal de v1, v2, v3, …., vk se llama conjunto generador
Gen(s) = gen(v1, v2, v3, ……, vk)

Procedimiento:
Colocar un vector representativo de v por ejemplo:
V = R³

(n1, n2, n3) ∈ V (k1, k2, k3) ∈ V

n1, n2, n3 ∈ R k1, k2, k3 ∈ R

Se encuentran formados por dos conjuntos y dos operaciones. El
primer conjunto contiene los vectores y el segundo conjunto que
se denomina cuerpo es en donde se definen + y x

+: Suma vectorial
X: Producto escalar por un vector
K: Cuerpo

Si el conjunto (cuerpo) son reales, entonces el espacio
vectorial son E.U reales
(U, R, +, x)

Para que el conjunto del producto U sea un espacio vectorial
real, se debe cumplir dos propiedades con respecto a + y
con respecto a x

1. Sea x, v ∈ V entonces u + v ∈ V cerradura respecto a la suma:
u + v = v + u
u + (v + w) = (u + v) + w

Existe un elemento cero (0) en V tal que: 0 + u = u + 0 = u

Para todo u ∈ V, existe -u ∈ V, tal que: u + (-u) = 0

2. Sea c, d ∈ R, u, v ∈ V cerradura respecto al producto:
c(u + v) = c x u + c x v
(c + d) x u = c x u + d x u

c x (d x u) = (c x d) x u

Existe el 1, talque: 1 x u = u x 1 = u

Teorema

CONCENTRACIÓN DEL PODER POLÍTICO

Sea w un espacio vectorial y w subconjunto de V en un espacio vectorial, entonces w se denomina subespacio
vectorial

Sea w un conjunto vacío y v un espacio vectorial con los operadores + y x, entonces w es un espacio vectorial si y
solo si cumple con:
u x v ∈ W; Para todo u, v ∈ W

c x u ∈ W; Para todo u ∈ W, c ∈ W

Base de un espacio vectorial

Construcción de bases ortogonales
y ortonormales

Proceso de construcción Gram
Schmidt

1. Consideramos U1 = V1
U es elemento de la base s no ortogonal

2. vi = ui – (ui x v1/v1 x v1)v1 – (ui x v2/v2 x v2)v2 - (ui x v3/v3 x v3)v3 …. - (ui x v-1/ v-1 x v-1) v-1
Ui es elemento de la base S no ortogonal
V1. V2, V3, …… Vi forman parte de la nueva base ortogonal

3. Una vez obtenidos v1, v2, v3, …, vi -1 que forman parte de la base ortogonal, se construyen
o determinan w1, w2, w3, …, wi-1 elementos de la base ortonormal

W1 = v1/|v1| W2 = v2/|v2| Wi-1 = vi-1/|vi-1|

Unitarios de la base ortonormal

T = {w1, w2, w3, …, wi-1} base ortonormal

Este proceso denominado Gram Schmidt forma una base que no es
ortogonal ni ortonormal para construir de forma interactiva una nueva
base ortogonal y ortonormal, su proceso se fundamenta en diferentes

teoremas

Teorema

• Si s = {u1, u2, u3, …, uk} una base en R^n y v en vector elemento
de R^n, entonces v = c1u1 + c2u2 + c3u3 + …. + ciui + …. + cnun
donde las constantes: Ci = VUi 1 ≤ i ≤ n

Corolario:
Sea S = {u1, u2, u3, …, ui, ….un} una base de R^n y v un vector elevado de R^n, entonces:
• V = c1u1 + c2u2 + c3u3 + …. + ciui + …. + cnun donde las constantes:

Ci = VU1/U1 x U1 1 ≤ i ≤ n

En el que S es una base ortogonal

• Si s = {u1, u2, u3, …, uk} una base en R^n y v en vector elemento
de R^n, entonces v = c1u1 + c2u2 + c3u3 + …. + ciui + …. + cnun
donde las constantes: Ci = VUi 1 ≤ i ≤ n

Los vectores v1, v2, v3, …, vk elementos de un espacio
vectorial V, representan una base de V si cumple dos
condiciones

1. v1, v2, v3, …, vk generen a V

2. v1, v2, v3, …, vk sea
linealmente independientes

Bases ortogonales y ortonormales
en un espacio vectorial

Vector unitario (u): es un vector de “magnitud”, “extensión”, “longitud” 1 (modulo uno)
u = v/|√v|

Bases ortogonales: Sea S ={v1, v2, v3, ….,vk} elementos del espacio vectorial V, S representa base ortogonal
si el producto entre vectores diferentes es cero
• Ortogonal representa perpendicularidad para R² y R³

Bases ortonormales: Sea S = {v1, v2, v3, ….,vk} elementos del espacio vectorial V, S representa a una base
ortonormal de v
Si el conjunto w = { u1, u2, u3, ….., u4} en el que:

- U1: es el conjunto unitario de v1

- U2: es el conjunto unitario de v2

- U3: es el conjunto unitario de v3

- Uk: es el conjunto unitario de vk

Son ortonormales

SIGLO XX

Se encuentran formados por dos conjuntos y dos operaciones. El
primer conjunto contiene los vectores y el segundo conjunto que
se denomina cuerpo es en donde se definen + y x

+: Suma vectorial
X: Producto escalar por un vector
K: Cuerpo

Si el conjunto (cuerpo) son reales, entonces el espacio
vectorial son E.U reales
(U, R, +, x)

2. Sea c, d ∈ R, u, v ∈ V cerradura respecto al producto:
c(u + v) = c x u + c x v
(c + d) x u = c x u + d x u

c x (d x u) = (c x d) x u

Existe el 1, talque: 1 x u = u x 1 = u

Teorema

Sea w un espacio vectorial y w subconjunto de V en un espacio vectorial, entonces w se denomina subespacio
vectorial

Transformaciones Lineales (L)

C. Primitivo

Toda va de acuerdo a la necesidad

L: U -> W u -> L(u)
u, w espacios vectoriales

Condiciones para que L sea una
transformación lineal

Sean v, w dos espacios vectoriales; una transformación lineal de v en w es
una función que asigna a cada vector elemento de v un ÚNICO vector
elemento de w, L(u) cumple con las siguientes condiciones:

1. L(u + v) = L(u) + L(v); u, v ∈ V ,
L(u), L(v) ∈ W

2. L(k u) = k(L u); k es un escalar
u ∈ V; L(u) ∈ W

Matriz de rotación

Los ejes x, y son denotadas con el
ángulo \alpha, es decir, el
resultado son dos ejes

perpendiculares pero notados con

un ángulo \alpha.

Px = OB – AB
Px = pu cos α - pu sin α

Py = AA’ + A’P

Py = pu sin α + pu cos α

Luv=cos α-sin αsin α cos αuv= px py