ESTIMACIÓN DE INTERVALOS DE CONFIANZA . Y PRUEBAS DE HIPÓTESIS

Varianzas desconocidas e iguales

Se debe realizar previamente una prueba estadística para verificar si éstas son iguales o diferentes Para hacerlo debemos hacer uso de la distribución f

Como se desconocen las varianzas de la población, se usan las varianzas de las muestras como estimadores.

Varianzas poblacionales

Conocidas

Desconocidas

Iguales

Varianza: Se toma en cuenta so

Grados de libertad: V=n1+ n2 - 2

que deja un área de ∝/2

Diferentes

Varianza: No se toma en cuenta sp

Grados de libertad

En las aplicaciones se debe redondear el entero menor más cercano para lograr la confianza que se busca.

Es una prueba para tomar una decisión se busca saber si es verdadera o no y decidir si se rechaza o no la hipótesis nula 𝐻0

Nos sirve para casi cualquier estudio donde tengamos que comparar si los valores cambian o no.

Tener dos poblaciones normales independientes

Medias 𝜇1 𝑦 𝜇2 𝑑𝑒𝑠𝑐𝑜𝑛𝑜𝑐𝑖𝑑𝑎𝑠

Varianzas desconocidas pero iguales 〖𝜎_1〗^2=〖𝜎_2〗^2=𝜎^2

Planear la hipótesis nula y alternativa

Establecer el Nivel de significancia

Establecer un Estadístico de prueba

Formular una regla de decisión

Calcular las cantidades muéstrales necesarias, sustituirlas en la ecuación del estadístico de la prueba, y calcular ese valor.

Decidir si deberá rechazar o no 𝐻0 y contextualizar la decisión en el problema

Neyman- Pearson

El experimento supuesto de repetir indefinidamente la toma de muestras de la misma población y calcular los intervalos.

TEORIA BAYESIANA

Los límites de un intervalo de credibilidad se consideran fijos y la probabilidad es subjetiva, se refiere sólo al experimento.

Estima el valor de la media de una muestra pequeña extraída (n < 30.) de una población que sigue una distribución normal.

Se desconoce la desviación típica.

La distribución t solo depende de los grados de libertad (v)

Distribución simétrica

1-α = Nivel de confianza (NC)

α = Nivel de significación

n-1 = Grados de libertad (V)

Procedimiento, con el que se busca tomar una decisión sobre el valor de verdad de una hipótesis estadística.

PLANTEAR
HIPÓTESIS NULA (Ho)
HIPÓTESIS alternativa (H1)

RECOGER EVIDENCIA MUESTRAL VINCULADA CON LAS HIPOTESIS

RECHAZO O NO RECHAZO DE LA HIPÓTESIS NULA

HIPÓTESIS NULA

Afirmación sobre una o más características de poblaciones que al inicio se supone cierta

HIPÓTESIS ALTERNATIVA

Afirmación contradictoria a Ho, y ésta es la hipótesis del investigador.

PRUEBA BILATERAL

Ho: μ1 = μ2 , H1: μ1  ≠ μ2

Se rechaza Ho si t ≥ tα/2,v o
t ≤ -tα/2,v

PRUEBA UNILATERAL INFERIOR

Ho: μ1 = μ2 , H1: μ1  < μ2

Se rechaza Ho si t < -tα,v

PRUEBA UNILATERAL SUPERIOR

Ho: μ1 = μ2 , H1: μ1 > μ2

Se rechaza Ho si t > -tα,v

Medias

Varianza

Desviación estándar

Medianas

Proporciones

Entre otras

Nivel de
significancia y se simboliza

𝛼

usualmente 95% o 99%

Cuando se requiere saber si las proporciones de
éxitos de dos poblaciones (P1 y P2) son iguales o no.

Ciencias de la salud.

Ciencias del mar.

Ingeniería

1. Primero seleccionamos
muestras aleatorias
independientes de tamaños n1
y n2 a partir de las dos
poblaciones binomiales con
sus respectivas medias y
varianzas.

2. Determinamos los números
x1 y x2.

3. Formamos las proporciones

4. Determinar la estimación puntual

5. Determinamos los valores de los complementos

6. Buscar el valor
de Z, este se realiza gracias al
intervalo de confianza dado en
nuestro problema.

7. Por último ya que se tiene todos
los datos necesarios procederemos
a calcular.

Es un proceso para determinar la validez de una aseveración hecha sobre la población basándose en evidencia muestral.
Es una afirmación sobre la población, a nivel de alguno de sus parámetros:

Media

Varianza o desvío estándar

NOTA: Debe plantearse antes de
obtener la muestra

Proporción

Nula

Es una hipótesis que el
investigador trata de
refutar, rechazar o anular.

Alternativa

Es lo que el investigador
realmente piensa que es la
causa de un fenómeno.

Error de tipo I:

Consiste en aceptar la hipótesis
alternativa cuando la cierta es la
nula.

Error de tipo II:

Consiste en aceptar la hipótesis
nula cuando la cierta es la
alternativa.

ALFA

Es la probabilidad de
cometer un error de tipo I.

BETA

Es la probabilidad de
cometer un error de tipo II.

Formular la
hipótesis nula y la
alternativa.

Seleccionar el
nivel de
significancia

Conocer o estimar
la varianza

Determinar la
prueba estadística

Determinar valores
críticos y sus regiones
rechazo

Calcular datos
muestrales

Tomar decisión
estadística de
aceptar o rechazar

HIPOLITO

Se plantea una
hipotesis nula y una
alternativa

ESTA

Se identifica el
estadistico de prueba

CON

Intervalos de confianza

ZOILA

Zona de aceptacion,si
nuestros estadisticos
estan en el intervalo de

confianza

COMPROMETIDO

Se toma una decisión
basándonos en lo
comprobado en las dos

hipótesis Ho y H1

Poner a prueba hipótesis referidas a distribuciones
de frecuencias.

Probar la asociación entre dos variables utilizando
una situación hipotética y datos simulados.

Evaluar cuán buena puede resultar una distribución
teórica, cuando pretende representar la
distribución real de los datos de una muestra.

Analizar variables cualitativas, para determinar la
independencia entre dos variables

Los valores de
X
2 son mayores o
iguales que 0

La forma de una distribución χ2 depende del
v= n-1. En consecuencia, hay un número
infinito de distribuciones χ2.

Es asimétrica con cola
hacia la derecha.

Entre más grande sea el
numero de v, más se acerca a
la distribución normal

Esta prueba fue desarrollada en el año 1900 por Karl Pearson.

Introdujo el método de la X² (chi o ji cuadrado); se encuentra dentro de las pruebas pertenecientes a la estadística descriptiva, concretamente la estadística descriptiva aplicada al estudio de dos variables.

Es una de las más conocidas y utilizadas para determinar la existencia o no de independencia entre dos variables.

En 1936 Neyman y Egon Pearson presentaron una teoría sobre la forma de probar hipótesis estadísticas en base a datos, introdujeron las nociones de hipótesis alternativa, y los dos tipos de error; el de rechazar una hipótesis que es verdadera, y el de no rechazar una hipótesis que es falsa, ellos vieron la prueba de hipótesis como un medio para que el investigador tomara una decisión sobre un parámetro de la población.

En algunas ocasiones los ingenieros y los científicos se enfrentan a estudios donde se les pide demostrar que las mediciones de los productos o procesos cumplen con las especificaciones que fijan los consumidores, dichas especificaciones se cumplen si la varianza del proceso es suficientemente pequeña. También se puede aplicar por medio de experimentos que comparan métodos o procesos donde la reproducibilidad o varianza se deben comparar de manera formal.

Identificar Ho y Ha

Identificar el nivel de significancia

Calcular el estadístico de prueba

Identificar el estadístico teórico

Grafica X2 (zona de aceptación y rechazo)

Decidir si deberá rechazar o no Ho

Hipótesis Nula

Es la hipótesis que se prueba (se rechaza o se acepta). Esta
es el punto inicial de la investigación.

Hipótesis alternativa

Es la afirmación que se establece en base a la
evidencia que tenemos y es contraria a la H0.

Zona de rechazo

Es el conjunto de valores tales que, si la prueba estadística
cae dentro de este rango, decidimos rechazar la Hipótesis Nula. Se denota
como α(alfa) y es el tamaño de la región de rechazo.

La distribución F es conocida con este nombre gracias a George W. Snedecor (1882-1974)

Rango de valores, derivado de los estadísticos de la muestra

Amplia aplicación en la comparación de varianzas muestrales

Aplicable en problemas que implican dos o más muestras

Existe una distribución para cada par de grados de libertad

Existen muchas distribuciones F, de manera semejante a las distribuciones t

F es asimétrica

F no tiene valores negativos

Mayor precisión cuando la muestra es pequeña

Variabilidad de un conjunto de datos respecto de la media de los mismos

Se definen como el número de valores que podemos escoger libremente

GL1= n1-1

GL2= n2-1

Evalúa las suposiciones o afirmaciones acerca de los parámetros

Hipótesis
Nula
H0

Hipótesis Alternativa
H1

Error tipo I

probabilidad de rechazar H0 siendo verdadera

Error tipo II

probabilidad de no rechazar H0 siendo falsa

Región de rechazo

Región de no rechazo

Muestras aleatorias e indiferentes

Las poblaciones son normales

La distribución F de Fisher

Establecer
H0 y H1

Definir tipo de prueba y α

Calcular el estadístico de Prueba

Regla de Decisión

Decisión:
Rechazo
o No rechazo
a H0

Intervalo de confianza

Un intervalo de confianza es un rango de valores, derivado
de los estadísticos de la muestra, que posiblemente incluya
el valor de un parámetro de población desconocido.

Métodos de inferencia

Estimación

Pruebas de
hipótesis

¿Para que sirve el intervalo de confianza?

El intervalo de confianza describe la variabilidad entre la
medida obtenida en un estudio y la medida real de la
población (el valor real).

Los pasos para aplicar un intervalo de confianza son los siguientes:

1. Establecer un error de estimación máximo para un nivel de confianza 1 – α.

2. Obtener el tamaño de la muestra n para el error de estimación máximo
especificado.

3. Extraer una muestra aleatoria de tamaño n y medir la variable.

4. Calcular el estadístico (es estimador del parámetro) con las medidas obtenidas.

5. Calcular los límites del intervalo de confianza.

Se selecciona una muestra de tamaño n de una
población:

Donde:
Población: N
Media: µ
Desviación estándar: σ

Intervalo de confianza para la media µ con 𝜎 conocida.

Donde:
Tamaño de la muestra: n
Media muestral: x̄
Nivel de significación: ∝

Intervalo de confianza para la media µ con 𝜎
conocida de muestra grande:

Cuando: la muestra proviene con una población normal.
O cuando no viene de una población normal, pero al
menos hay 30 observaciones en la muestra.

Donde:
Tamaño de la muestra: n
Media muestral: x̄
Distribución normal estándar: 𝑧𝛼/2

Formulación de hipótesis

Hipótesis nula

Hipótesis alternativa

Valor de la
estimación del
parámetro

x̄:Estimador de la media poblacional

p:Estimador de la proporción

Formulación
de la hipótesis
alternativa

Se tienen tres posibles
formulaciones para la hipótesis alternativa:

1. Prueba bilateral

H0: ϕ = X
H1: ϕ ≠ X

Establece que:
ϕ < ϕ 0 o queϕ > ϕ 0

2. Prueba unilateral superior (o derecha)

H0: ϕ < X
H1: ϕ > X

3. Prueba unilateral inferior (o izquierda)

H0 :ϕ>X H1:ϕ<X

Tipos de errores

Error de tipo I:
El rechazo de la hipótesis nula cuando es verdadera.

Error de tipo II:
No rechazar la hipótesis nula cuando es falsa

Metodología

1. Formular H0 y H1

2. Especificar P (Error de tipo I)
También se puede especificar las probabilidades de los errores de tipo II

3. Criterio
para poner a prueba H0 VS H1

4. Calcular el valor
estadístico

5. Toma de decisión.

Distribución T

Usos

Estimar la media de una población normalmente distribuida a partir de una muestra pequeña.

Tamaño

Tamaño de la muestra es inferior a 30 elementos

Consideraciones

A partir de 30 observaciones, la distribución t se parece mucho a la distribución normal

No se conoce la desviación
típica o estándar de una población

Es una distribución unimodal. Los valores que son más frecuentes o que tienen más probabilidad de aparecer (moda) están alrededor de la media.

Es una distribución simetrica. El valor de la media, la mediana y la moda coinciden. Matemáticamente

Media = Moda = Mediana = 0

Si tenemos una muestra de tamaño n, entonces tendremos una distribución con (n-1 grados de libertad.

La función de densidad no depende de los grados de libertad para ser simétrica.

El valor medio o central es cero (0).

Cuando más aumenten los grados de libertad, más parecida será la distribución tala distribución normal.

1.Calcular la media muestral

2.Calcular la desviación muestral

3.Calcular alfa

4.Obtener los
valores críticos de t

5.Aplicar la formula t

Trata de un trabajo de investigación en el que se plantea
dos hipótesis mutuamente excluyentes

Al aumentar el tamaño muestral las probabilidades de
rechazo y aceptación decrecen a la vez

Si tenemos una muestra de tamaño n, entonces tendremos una distribución con (n-1 grados de libertad.

Al aumentar el tamaño muestral las probabilidades de
rechazo y aceptación decrecen a la vez.

n≤30 para varianza desconocida y uso de la distribución t

Nula

Denotada como 𝐻0 siempre especifica un solo valor del parámetro de la población

H0 : µ = µ0

Alternativa

Denotada como H1 es la que responde nuestra pregunta,
la que se establece en base a la evidencia que tenemos.
Puede tener TRES formas:

H1 : µ > µ0

H1 : µ < µ0

H1 : µ ≠ µ0

Pasos para solución

1. Identificar el parámetro de interés.

2.Establecer la hipótesis nula.

3. Especificar una apropiada hipótesis alternativa.

4. Seleccionar un nivel de significancia (α).

5. Establecer un estadístico de prueba apropiado.

6. Establecer la región de rechazo para el estadístico.

7. Calcular lo necesario para utilizar el estadístico propuesto.

8. Decidir si debe o no rechazarse la hipótesis nula.

Un intervalo de confianza nos va a permitir calcular dos valores alrededor de una media muestral (uno superior y otro inferior). Estos valores van a acotar un rango dentro del cual, con una determinada probabilidad, se va a localizar el parámetro poblacional.

Intervalo de confianza = media ± margen de error

1. El tamaño de la muestra: muestras más grandes darán resultados más precisos y por ende intervalos de confianza más angostos. El corolario es que hay que desconfiar de las estimaciones provenientes de muestras pequeñas, afirmación que vale la pena repetir una y otra vez.

2. La variabilidad de la característica que se estudia: entre y dentro de la muestra, de errores de medición u otras fuentes.

3. El grado de confianza requerido: mientras más confianza se necesita, más ancho es el intervalo

Si suponemos 2 variables o poblaciones X e Y, pero dependientes, estaremos en el caso de muestras o variables pareadas.
Este caso recoge el ejemplo del estudio del efecto de un tratamiento: para saber si un nuevo tratamiento es efectivo sobre un cierto factor (dolor, temperatura, movilidad), se prueba en un grupo de personas y se miden los efectos antes y después del mismo

¿Cuándo se usan?

Efectividad de un medicamento

Efectividad de una terapia

Evaluar a una persona antes y después de cierta rutina de ejercicio

Medir el rendimiento escolar de una persona al aplicar otro método de estudio

Supongamos que a una muestra de tamaño n se le aplica un determinado “tratamiento” el cual puede consistir en evaluarlos, someterlos a una determinada acción, aplicarles un determinado medicamento, etc.

Identificar los datos. X e Y

Calcular las diferencias: 𝑑𝑖=𝑦𝑖−𝑥𝑖

Calcular el promedio de las diferencias:
𝑑 ̅=(Σ𝑑_𝑖)/𝑛

Calcular la desviación muestral.
𝑆𝑑=√((Σ(𝑑𝑖−𝑑 ̅)^2)/(𝑛−1))

Fijar el nivel de confianza
1 - α

Obtener los grados de libertad.
gl = n-1

Se busca el valor de 𝑡(𝛼∕2, 𝑛−1) en la tabla T de Student.

Se sustituyen todos los datos en la fórmula

Agricultura

Para comprobar la efectividad de la aplicación de fertilizantes sobre sus cosechas.

Pruebas clínicas

Su aplicación consiste en evaluar nuevos tratamientos, comparandolos con otros previamente existentes, o con algún placebo.

Industria

Por lo general, se aplican para verificar los datos de durabilidad y/o eficacia brindados por las empresas.

Planteamiento de la hipótesis

Hipótesis nula

𝐻_0:𝜇_𝑑 = 0

𝐻_0: 𝑥 ̅= 𝑦 ̅

Hipótesis alternativa

𝐻_1:𝜇_𝑑 > 0

𝐻_1:𝜇_𝑑 < 0

𝐻_1: 𝑥 ̅≠𝑦 ̅

𝐻_1:𝜇_𝑑≠ 0

Identificar el nivel de significancia

Comúnmente dado en ∝= 5 % o 1%

Por lo general nos lo indica el problema

Estadístico de prueba

𝑡=𝑑 ̅/(𝑆_𝑑⁄√𝑛)

Donde

t:Valor del estadístico de prueba.

𝒅:Media de las diferencias.

Sd: Desviación estándar de la diferencia.

n: Número de muestras.

Toma de decisión

Grados de libertad = n – 1

Diferencias

𝑑_𝑖=𝑦_𝑖−𝑥_𝑖

Promedio de las diferencias

𝑑 ̅=(Σ𝑑_𝑖)/𝑛

Desviación muestral

𝑆_𝑑=√((Σ(𝑑_𝑖−𝑑 ̅)^2)/(𝑛−1))

Nos permite extraer conclusiones sobre el valor poblacional de un parámetro para evaluar nuestra muestra.

Es necesario:

Estimación puntual

Intervalo de confianza

Prueba de significación estadística

Los comienzos de la estadística remontan desde el antiguo Egipto, donde los antiguos faraones(año 3500 a.c)recaudaban datos sobre sus riquezas y su población, esto para preparar la construcción de sus pirámides.

Los pasos para aplicar un intervalo de confianza son los siguientes:

1. Establecer un error de estimación máximo para un nivel de confianza 1 – α.

2. Obtener el tamaño de la muestra n para el error de estimación máximo especificado.

3. Extraer una muestra aleatoria de tamaño n y medir la variable.

4. Calcular el estadístico (es estimador del parámetro) con las medidas obtenidas.

5. Calcular los límites del intervalo de confianza.

Empresas

En el control estadístico de los procesos.

En los diferentes procesos como la producción y la venta de bienes y/o servicios.

Inferencia estadística

Permite acotar un par o varios pares de valores.

Localización del parámetro poblacional.

Se encontrará la media de la población.

Insesgado

Si su valor medio sobre todas las posibles muestras de tamaño “n” coincide con el parámetro poblacional.

Sesgado

Cuando el estimador muestral no se corresponde con el poblacional, debido a un error sistemático.

Eficiente

Interesa que las distintas estimaciones difieran lo menos posible del parámetro poblacional; es decir, que la varianza muestral del estimador sea mínima.

Suficiente

Aquel estimador que utiliza toda la información contenida en la muestra.

Facilita un rango de valores dentro del cual se encontrará el verdadero valor del parámetro poblacional con un cierto grado de confianza.

El error estándar es un indicador de la variabilidad de las medias calculadas en muchas posibles muestras que se tomen de una población, todas ellas de tamaño n.

Lo estimado en la muestra (porcentaje, media).

El tamaño muestral
(cuantos datos hayan
participado en el

calculo).

La probabilidad, nivel de confianza con la que el método dará una
respuesta correcta.

La hipótesis alternativa puede ser unilateral o bilateral:

Bilaterales

Utilice una hipótesis alternativa bilateral para determinar si el parámetro de población es mayor que o menor que el valor hipotético.

Unilaterales

Utilice una hipótesis alternativa unilateral para determinar si el parámetro de población difiere del valor hipotético en una dirección específica.

PASO 1. PLANTEAMIENTO DE LA HIPOTESIS

PASO 2. NIVEL DE SIGNIFICACION

PASO 3. CALCULO DEL ESTADISTICO DE PRUEBA

PASO 4. GRAFICO DE REGIONES CRITICAS Y Z CRITICO

PASO 5. TOMA DE DECISION

PASO 6. CONCLUSION

𝑠"i T "∈ (𝑇(i , ) 𝑇8 )

No rechazamos 𝐻(0) (⇏𝑟𝑒𝑐ℎ𝑎𝑧𝑎𝑚𝑜𝑠 𝐻1 )

𝑠"i T "∉ (𝑇(i , ) 𝑇8 )

Rechazamos 𝐻(0) 𝑦 𝑎𝑐𝑒𝑝𝑡𝑎𝑚𝑜𝑠 𝐻1

Varianzas Diferentes

Varianzas iguales

Las muestras son independientes.

Las poblaciones están distribuidas normalmente.

Si 𝑛 ≥ 30 la población se considera distribuida normalmente.

+< 𝜇1 − 𝜇2 < +

La diferencia es a favor del que se denomina 𝑥1

Si el intervalo es mayor a 0

−< 𝜇1 − 𝜇2 < −

La diferencia es a favor del que se denomina 𝑥2

Si el intervalo es menor a 0

+< 𝜇1 − 𝜇2 < −
O −< 𝜇1 − 𝜇2 < +

No hay diferencia entre los dos

Si el intervalo contiene a 0

Muchas veces se debe decidir si la diferencia entre dos medias muestrales se pueden atribuir al azar o si realmente las dos muestras provienen de
poblaciones con medias diferentes.

Hipótesis Nula (𝐻0 )

𝐻0 : 𝜇1 − 𝜇2 = 𝐷

𝐻0 : 𝜇1 − 𝜇2 ≥ 𝐷

Lo contrario a la afirmación
sometida a prueba

𝐻0 : 𝜇1 − 𝜇2 ≤ D

Hipótesis Alternativa (𝐻1)

𝐻1 : 𝜇1 − 𝜇2 ≠ 𝐷

𝐻1 : 𝜇1 − 𝜇2 < 𝐷

Afirmación que se
desea probar

𝐻1 : 𝜇1 − 𝜇2 > 𝐷

Extraer datos

Plantear 𝐻0 y 𝐻1

Seleccionar el estadístico de prueba

Buscar el valor crítico

Regla de la decisión

Moon name

Moon name