NUMERI REALI E RADICALI
LA RADICE QUADRATA :
La radice quadrata di un numero reale positivo o nullo a è il numero reale positivo o nullo il cui quadrato è uguale ad a. La radice quadrata del numero a viene indicata con il simbolo √a
Ex: √4=2 perchè il 2 elevato alla seconda da come risultato 4
Ex: √9 =3 perchè il 3 elevato alla seconda da come risultato 9
LA RADICE n-esima
Se n è un numero naturale non nullo, la radice n-esima di un numero reale a è il numero reale la cui potenza n-esima è uguale ad a. Essa viene indicata con il simbolo n√a
Se n è pari, n√a esiste soltanto se a≽0 e n√a è un numero positivo o nullo;
Ex:√2x-1: si pone A≽0; quindi si avrà come risultato: x≽1/2
Ex: ∜2-x/x+1: si mettono a sistema tutto il radicando e solo il denominatore rispettivamente il primo maggiore uguale a zero. Una volta svolto il sistema solo nella parte del denominatore il primo bisogna risolverlo come fosse una disequazione fratta Si avrà come risultato: -1≺x≼2
Se n è dispari, n√a esiste per ogni valore di a e n√a è un numero positivo se a＞0, un numero negativo se a≺0.
Ex: ∛x/x^2+1: si risolve come nell'esempio prima. Si avrà come risultato: D=R
Ex: ∛x^2+3x: il risultato sarà sempre D=R
LA RADICE CUBICA:
La radice cubica di un numero reale a è il numero reale il cui cubo è uguale ad a. La radice cubica di a viene indicata con il simbolo ∛a
Ex: ∛64=4 perchè il 4 elevato alla terza da come risultato 64
Ex: ∛27=3 perchè il 3 elevato alla terza da come risultato 27
A differenza delle radici quadrate, che esistono solo per i numeri positivi o nulli, la radice cubica esiste anche quando il numero a è negativo:
Se a≽0 la sua radice cubica è un numero reale positivo o nullo;
Se a≺0 la sua radice cubica è un numero reale negativo.
I RADICALI
Un radicale è una radice n-esima dove al posto del radicando vi è un espressione algebrica
Ex: ∛a-2
DOMINIO DI UN RADICALE: l'insieme dei valori che si possono attribuire alle variabili che compaiono nel radicale
CRITERIO DI ESISTENZA DI UN RADICALE: il radicale n√a , dove A è un espressione algebrica, ha significato solo se:
A esiste e A≽0, quando n è pari
A esiste, quando n è dispari
LA PROPRIETA' INVARIANTIVA DEI RADICALI E LE SUE APPLICAZIONI: il radicale n√a^m, con a≽0, è equivalente al radicale che si ottiene moltiplicando l'indice n della radice e l'esponente m del radicando per uno stesso numero reale p non nullo.
n√a^m=n・p√a^m・p
SEMPLIFICAZIONE DI UN RADICALE: se l'indice della radice e l'esponente del radicando hanno un fattore comune, è possibile dividere entrambi per tale fattore ottenendo un radicale equivalente a quello dato.
Ex: ∜121=?- si scompone il radicando e dopo si divide sia l'esponente dell'indice sia l'esponente del radicando stesso per un numero a scelta(in questo caso 2). Quindi si avrà il risultato- ∜121= ∜11^2=√11
LA SEMPLIFICAZIONE E IL VALORE ASSOLUTO: quando si ha un radicale da semplificare che ha come argomento un'espressione algebrica è necessario controllare che il risultato abbia ancora significato.
Ex:∜a^2b^2-il prodotto a^2b^2 assume valore positivo o nullo in quanto sia la lettera a che b sono elevate a potenza pari; a e b sono quindi numeri reali qualsiasi. Semplificando otteniamo √ab. Se a e b sono concordi il loro prodotto è positivo e il radicale ha quindi significato; tuttavia, se sono discordi il loro prodotto ab è negativo e il radicale non esiste. Per eseguire la semplificazione mantenendo la condizione che a e b possano essere numeri numeri reali qualsiasi, dobbiamo allora considerare il modulo ab. Scriviamo quindi: ∜a^2b^2=
√∣ab∣
Ex: 6√x^2- anche in questo caso la lettera x può assumere un valore qualsiasi; semplificando otteniamo: 6√x^2=∛x. ∛x essendo un radicale di indice dispari esiste anche se x è negativo. Tuttavia il simbolo di uguaglianza posto tra i 2 radicali prima e dopo la semplificazione impone che essi abbiano lo stesso valore. Poichè 6√x^2 è un numero positivo o nullo per qualsiasi valore di x, anche ∛x deve essere positivo o nullo; per mantenere la concordanza di segno, dobbiamo quindi considerare il modulo di x