CONJUNTOS JOSE CARMONA IBEROAMERICANA

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MATEMÁTICA BÁSICA

OPERACIONES

también conocidas como álgebra de conjuntos, nos permiten realizar operaciones sobre los conjuntos para obtener otro conjunto.

COMPLEMENTO DE UN CONJUNTO

Es la operación que nos permite formar un conjunto con todos los elementos del conjunto de referencia o universal, que no están en el conjunto. Es decir dado un conjunto A que esta incluido en el conjunto universal U, entonces el conjunto complemento de A es el conjunto formado por todos los elementos del conjunto universal pero sin considerar a los elementos que pertenezcan al conjunto A. En esta operación el complemento de un conjunto se denota con un apostrofe sobre el conjunto que se opera, algo como esto A' en donde el el conjunto A es el conjunto del cual se hace la operación de complemento.

Dado el conjunto Universal U={1,2,3,4,5,6,7,8,9} y el conjunto A={1,2,9}, el conjunto A' estará formado por los siguientes elementos A'={3,4,5,6,7,8}. Usando diagramas de Venn se tendría lo siguiente:

DIFERENCIA DE CONJUNTOS

Es la operación que nos permite formar un conjunto, en donde de dos conjuntos el conjunto resultante es el que tendrá todos los elementos que pertenecen al primero pero no al segundo. Es decir dados dos conjuntos A y B, la diferencia de los conjuntos entra A y B, estará formado por todos los elementos de A que no pertenezcan a B. El símbolo que se usa para esta operación es el mismo que se usa para la resta o sustracción, que es el siguiente: -.

Dados dos conjuntos A={1,2,3,4,5} y B={4,5,6,7,8,9} la diferencia de estos conjuntos será A-B={1,2,3}. Usando diagramas de Venn se tendría lo siguiente:

DIFRENCIA DE SIMETRICA DE CONJUNTOS

Es la operación que nos permite formar un conjunto, en donde de dos conjuntos el conjunto resultante es el que tendrá todos los elementos que no sean comunes a ambos conjuntos. Es decir dados dos conjuntos A y B, la diferencia simétrica estará formado por todos los elementos no comunes a los conjuntos A y B. El símbolo que se usa para indicar la operación de diferencia simétrica es el siguiente: △.

Dados dos conjuntos A={1,2,3,4,5} y B={4,5,6,7,8,9} la diferencia simétrica de estos conjuntos será A △ B={1,2,3,6,7,8,9}. Usando diagramas de Venn se tendría lo siguiente:

INTERSECCIÓN DE CONJUNTOS

Es la operación que nos permite formar un conjunto, sólo con los elementos comunes involucrados en la operación. Es decir dados dos conjuntos A y B, la de intersección de los conjuntos A y B, estará formado por los elementos de A y los elementos de B que sean comunes, los elementos no comunes A y B, será excluidos. El símbolo que se usa para indicar la operación de intersección es el siguiente: ∩.

Dados dos conjuntos A={1,2,3,4,5} y B={4,5,6,7,8,9} la intersección de estos conjuntos será A∩B={4,5}. Usando diagramas de Venn se tendría lo siguiente:

UNION O REUNION DE CONJUNTOS

Es la operación que nos permite unir dos o más conjuntos para formar otro conjunto que contendrá a todos los elementos que queremos unir pero sin que se repitan

El símbolo que se usa para indicar la operación de unión es el siguiente: ∪. Cuando usamos diagramas de Venn, para representar la unió de conjuntos, se sombrean los conjuntos que se unen o se forma uno nuevo. Luego se escribe por fuera la operación de unión.

Dados dos conjuntos A={1,2,3,4,5} y B={4,5,6,7,8,9} la unión de estos conjuntos será A∪B={1,2,3,4,5,6,7,8,9}. Usando diagramas de Venn se tendría lo siguiente:

MORGAN

Segunda ley: El complemento de la intersección de dos conjuntos es la unión de sus complementos: (AuB)' = A'nB'

U={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12} A={1,3,4,7,9,11} B={1,2,5,7,9,11,12} AUB={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12} (AUB)'= {6,8,10} A'={2,5,6,8,10,12} B'={3,4,6,8,10} A'nB'={6,8,10} Las dos operaciones nos entregan exactamente lo mismo.

Establecen los complementos de la unión e intersección entre conjuntos.

PRIMERA LEY: El complemento de la ley unión de dos conjuntos es la intersección de sus complementos. (A U B)' = A' n B'

B'

A'

AnB

xϵ(AnB)' = x∉AnB 1. x∉A ∧ xϵB = x ϵ A' 2. xϵA ∧ x∉B = xϵB' x ϵ A' ∨ x ϵ B' A'uB' = (AnB)'

A' u B'

(AnB)'

w

PROPIEDADES

INTERSECCIÓN

Propiedad asociativa, si en una intersección de tres o más conjuntos se reemplazan dos de ellos por su intersección efectuada, el resultado total es el mismo. R∪S∪T=(R∪S)∪T R∪S∪T=R∪(S∪T)

Propiedad conmutativa, cambiando el orden de los conjuntos, la intersección no se altera. R∩S∩T=R∩T∩S R∩S∩T=T∩R∩S

Propiedad distributiva La unión es distributiva con respecto a la intersección. (R∩S)∪T=(R∪T)∩(S∪T) La intersección de conjuntos es distributiva con respecto a la unión. (R∪S)∩T=(R∩T)∪(S∩T)

UNION

Propiedades asociativas, si en una unión de tres o más conjuntos se reemplazan dos conjuntos por su unión efectuada, se obtiene el mismo resultado. R∩S∩T=(R∩S)∩T R∩S∩T=R∩(S∩T)

Propiedades conmutativas, Si en una unión se altera el orden de los conjuntos, el resultado no varía. R∪S∪T=S∪R∪T R∪S∪T=T∪R∪S

EJEMPLO: (A-B)∪(A-C) = {1, 3, 4, 6, 7, 8, 10} ∪ {1, 2, 6, 7, 8, 9, 11, 24} = (A-B)∪(A-C) = {1, 2, 3, 4, 6, 7, 8, 9,10, 11, 24}

Topic principal

CONJUNTOS

¿Que es un conjunto? Es un grupo de elementos u objetos especificados en tal forma que se puede afirmar con certeza si cualquier objeto dado pertenece o no a la agrupación. Para denotar a los conjuntos, se usan letras mayúsculas.

Cuando un elemento x pertenece a un conjunto A se expresa de forma simbólica como: x ∈ A . En caso de que un elemento y no pertenezca a este mismo conjunto se utiliza la notación: y ∉ A

OPERECIONES

La unión de los conjuntos A y B es el conjunto de todos los elementos de A con todos los elementos de B sin repetir ninguno y se denota como A∪ B . Esto es: A∪ B = { x x ∈ A o x ∈ B }

FORMAS DE CONJUNTOS

4) Por descripción verbal: Es un enunciado que describe la característica que es común para los elementos.

3) Diagramas de Venn: son regiones cerradas que sirven para visualizar el contenido de un conjunto o las relaciones entre conjuntos.

2) Por comprensión: los elementos se determinan a través de una condición que se establece entre llaves. En este caso se emplea el símbolo | que significa “tal que". En forma simbólica es: A = { x P(x) }= {x1, x2, x3, ⋅⋅⋅ xn } que significa que el conjunto A es el conjunto de todos los elementos x tales que la condición P(x) es verdadera, como x1, x2, x3... , etc.

1) Por extensión o enumeración: los elementos son encerrados entre llaves y separados por comas. Es decir, el conjunto se describe listando todos sus elementos entre llaves.

EJEMPLO