Звичайні дроби

1. Правильні дроби: Це дроби, у яких чисельник менший за знаменник і їх значення лежить між 0 і 1. Наприклад, 1/2, 3/4.2. Неправильні дроби: Це дроби, у яких чисельник більший за знаменник. Наприклад, 5/4, 7/3.3. Мішані дроби: Це комбінація цілої частини та дробової частини. Наприклад, 1 1/2, 2 3/4.

Операції зі звичайними дробами включають додавання, віднімання, множення та ділення. Ось як вони виконуються:1. Додавання: Щоб додати дві звичайні дроби, спочатку переконайтеся, що знаменники в них однакові. Якщо знаменники різні, спочатку знайдіть спільний знаменник, а потім додайте чисельники. Знаменник залишається незмінним. Наприклад: 1/4 + 3/4 = 4/4 = 1.2. Віднімання: Для віднімання двох звичайних дробів так само переконайтеся, що знаменники однакові. Якщо знаменники різні, знайдіть спільний знаменник, а потім відніміть чисельники. Знаменник залишається незмінним. Наприклад: 3/4 - 1/4 = 2/4 = 1/2.3. Множення: Щоб помножити дві звичайні дроби, перемножте чисельники разом і знаменники разом. Наприклад: (2/3) * (4/5) = 8/15.4. Ділення: Щоб поділити одну звичайну дріб на іншу, помножте перший дріб на обернений другого дробу. Обернений дріб отримується шляхом обміну чисельника та знаменника. Наприклад: (2/3) / (4/5) = (2/3) * (5/4) = 10/12 = 5/6.

 Додавання (віднімання) дробів: для додавання (віднімання) дробів спочатку необхідно звести їх до загального знаменника, а потім додати (або відняти) чисельники, а знаменник залишиться загальний. 

Множення дробів: для того, щоб помножити один дріб на інший, необхідно помножити чисельник першого дробу на чисельник другого дробу, а знаменник першого дробу на знаменник другого дробу (і, якщо необхідно, ще виконати скорочення загальних множників).

Ділення дробів: для того щоб розділити один дріб на інший, необхідно другий дріб перевернути і замінити ділення множення.

Звичайні дроби виникли задовго до писемної історії і є одними з найстаріших математичних концепцій. Вони були розвинуті людством для вирішення практичних проблем, пов'язаних з вимірюванням та поділом об'єктів.Перші згадки про використання дробей можна знайти в стародавніх цивілізаціях Месопотамії (сучасна територія Іраку) і Давньому Єгипті близько 4000 років тому. В Єгипті використовувалися прості дроби для вимірювання земельних ділянок, обчислення об'єму та розрахунків у будівництві.Вавилонські математики, що жили близько 3000 років тому, використовували систему числення, яка базувалася на числі 60 (сексагесимальна система). Вони використовували звичайні дроби для обчислення часу, вимірювання кутів та розрахунків у торгівлі.Давні греки, зокрема великі математики, такі як Піфагор, Евклід та Архімед, вивчали властивості та використання звичайних дробів. Вони використовували дроби для обчислення пропорцій, вимірювання геометричних фігур та розрахунків у науці та інженерії.З часом звичайні дроби стали невід'ємною частиною математики та наукових розрахунків. Вони були розроблені й удосконалені у різних культурах і цивілізаціях, зокрема в Китаї, Індії, Арабському світі та середньовічній Європі.Історія виникнення звичайних дробів є довгим та складним процесом, який розвивався протягом тисячоліть. Сучасна математика використовує звичайні дроби як основні поняття для вирішення різних математичних задач та застосування в різних галузях науки і технологій. 

Звичайні дроби використовувалися в стародавньому світі, особливо в розвинутих цивілізаціях, таких як давній Єгипет, Вавилон, Греція та Рим. Вони використовували дроби для вимірювання кількостей, обчислення площі, об'єму та ваги, а також для розрахунків у торгівлі та інженерних розрахунках.У давньому Єгипті звичайні дроби були широко використовувані для вимірювання площі земельних ділянок та розрахунків у будівництві пірамід. Єгиптяни використовували систему дробів, де чисельник позначався символом лотосового квіту, а знаменник - символом горщика.У Вавилоні використовувалася сексагесимальна система числення, що базувалася на числі 60. Вони використовували звичайні дроби для обчислення часу, вимірювання кутів та розрахунків у торгівлі.Давні греки та римляни також використовували звичайні дроби у своїх розрахунках. Греки використовували дроби для обчислення пропорцій та геометричних фігур. Римляни використовували десяткову систему числення, але також використовували звичайні дроби для обчислення валютних розрахунків та вимірювання об'єму.Звичайні дроби в стародавньому світі були важливим інструментом математики та практичних розрахунків. Вони допомагали людям виконувати складні розрахунки та вимірювання, що були необхідні для розвитку цивілізацій того часу. 

Вперше дроби почали використовувати на території Єгипту і Вавилона. Підхід математиків двох держав мав значні відмінності. Однак початок і там і там було покладено однаково. Першою дробом стала половина або 1/2. Далі виникла чверть, третину і так далі. Згідно з даними археологічних розкопок, історія виникнення дробів налічує близько 5 тисяч років. Вперше частки числа зустрічаються в єгипетських папірусах і на вавилонських глиняних табличках. Система числення в Вавилоні була Шістдесяткова. Кожен новий розряд відрізнявся від попереднього на 60. Така система збереглася в сучасному світі для позначення часу і величин кутів. Дробу також були шістдесяткова. Для запису використовували спеціальні значки. Як і в Єгипті, приклади з дробом містили окремі символи для позначення 1/2, 1/3 і 2/3. Вавилонська система не зникла разом з державою. Дробом, написаними в 60-тірічной системі, користувалися античні і арабські астрономи і математики.Колись дії зі звичайними дробами завдавали людям надзвичайних труднощів. Ці труднощі у Вавилоні пояснювали "втручанням злих духів". Англійський чернець Бєда, який був ученою людиною свого часу, писав у VII сторіччі: "У світі є багато речей, але немає нічого важчого, як чотири дії арифметики".  Тоді ж, мабуть, і виникла німецька приказка "попасти в дроби", що означала опинитися у скрутному становищі. А причина, звичайно, полягала в тому, що не було встановлено загальних правил виконання дій з дробами, не було створено відповідної теорії.

Римська система дробів була пов'язана з мірою ваги, званої «асс». Вона ділилася на 12 часток. 1/12 асса називалася унцією. Для позначення дробів існувало 18 назв. Наведемо деякі з них:семис — половина асса; секстанте — шоста частка асса; семиунция — пів-унції або 1/24 асса. Незручність такої системи полягала в неможливості подати число у вигляді дробу зі знаменником 10 або 100. Римські математики подолали труднощі з допомогою використання відсотків.

Звичайні дроби застосовуються:Звичайні дроби в промисловості.Дроби і здоров'я людини.Дроби у повсякденному житті.Звичайні дроби і музика.

1. Ділення на частки: Наприклад, якщо у вас є 12 яблук, і ви хочете розділити їх між 3 дітьми порівну, ви можете використовувати звичайні дроби, щоб виразити кількість яблук для кожної дитини як 12/3 = 4.2. Поділ на частини: Наприклад, якщо у вас є піца, розділена на 8 шматків, і ви хочете з'їсти половину піци, ви можете використовувати звичайні дроби, щоб виразити кількість шматків, які вам потрібно з'їсти, як 1/2 * 8 = 4.3. Порівняння кількостей: Наприклад, якщо у вас є 3/4 пляшки соку і 2/3 пляшки лимонаду, ви можете використовувати звичайні дроби, щоб порівняти кількості напоїв і визначити, який більше.4. Розрахунок вартості: Наприклад, якщо ціна однієї книги становить 1/2 долара, а ви хочете купити 3 книги, ви можете використовувати звичайні дроби, щоб обчислити загальну вартість як 1/2 * 3 = 1.5 долара.5. Розрахунок відсотків: Наприклад, якщо ви отримали 4 з 10 правильних відповідей на тесті, ви можете використовувати звичайні дроби, щоб обчислити відсоток правильних відповідей як 4/10 * 100% = 40%.

Перетворення звичайних дробів включає розкладання на прості дроби, зведення до спільного знаменника та перетворення змішаних чисел на неправильні дроби. Ось кілька прикладів перетворень звичайних дробів:1. Розкладання на прості дроби:  Наприклад, якщо маємо дріб 3/8, можемо розкласти його на прості дроби шляхом знаходження спільного дільника для чисельника і знаменника. У цьому випадку, 3 і 8 не мають спільних дільників, тому 3/8 є простою дробом.2. Зведення до спільного знаменника:  Наприклад, якщо маємо дроби 2/3 і 3/4, можемо звести їх до спільного знаменника, який у цьому випадку буде 12. Перетворюємо дроби:  2/3 = 8/12 (помножуємо чисельник і знаменник першого дробу на 4)  3/4 = 9/12 (помножуємо чисельник і знаменник другого дробу на 3)  Тепер можемо виконати операції з дробами, оскільки вони мають однаковий знаменник.3. Перетворення змішаних чисел на неправильні дроби:  Наприклад, якщо маємо змішане число 1 3/4, можемо перетворити його на неправильний дріб, обчисливши його значення. У цьому випадку, 1 3/4 можна розглядати як 4/4 + 3/4 = 7/4.Це лише кілька прикладів перетворень звичайних дробів. Зверніть увагу, що в деяких випадках можуть бути застосовані інші методи та правила для перетворень дробів, залежно від конкретної ситуації. 

Для перетворення неправильного дробу в мішане число необхідно:поділити чисельник дробу на його знаменник;остачу від ділення записати в чисельник, знаменник залишити без змін;результат від ділення записати в якості цілої частини.

Щоб перетворити десятковий дріб в звичайний дріб, потрібно представити його дробову частину у вигляді натурального числа, поділеного на 10 в відповідній степені. Після чого спростити отриманий дріб і до результату приписати цілу частину з відповідним знаком, формуючи мішаний дріб.

Щоб представити мішане число у вигляді неправильного дробу, потрібно:помножити його цілу частину на знаменник дробової частини;до отриманого добутку додати чисельник дробової частини;записати отриману суму чисельником дробу, а знаменник дробової частини залишити без зміни.