Conceptualización de vectores, matrices y determinantes

Es un conjunto de elementos ordenados en renglón o columna

Un vector v en el plano xy, es un par ordenado de números reales (a, b). Los níúmeros a y b se conocen como los componentes de v. El vector 0 es (0,0)

Norma: debe cumplir con las siguientes propiedades ll v ll es un número real no negativo ll v ll = 0 v = 0

Ángulos directores: Se les llama ángulos directores de un vector V, con componentes (v1, v2, v3), a los cosenos de los ángulos de la misma forma con las posiciones positivas de los ejes x, y, z respectivamente ángulos directores

Vectores unitarios: son los vectores que su módulo es = 1

Propiedades: Magnitud: Indica el valor númerica del vector a través de una unidad de medida. Sentido: Esta indicado por la punta de una flecha. E indica la dirección del vector que puede ser arriba, abajo, derecha e izquierda. Dirección: Es la inclinacion de la recta y representa al ángulo entre ella y un eje imaginario. También se utlizan los ejes x, y, z.

Operaciones básicas con vectores: se pueden realizar sumas, restas y multiplicación por escalar.

Vectores canónicos: es aquel arreglo que está formado por una y solo una entrada igual al neutro multiplicativo, y el resto de las entradas, el elemento neutro aditivo. Los vectores canónicos en R2, se representan: Los vectores (1,0) y (0, 1), son linealmente independientes. Forman la base canónica en R2.

Producto punto: es una manera fundamental en la que podemos combinar dos vectores. Cuando dos vectores se combinan bajo suma o rescta el resultado es un vector. Cuando dos vectores se combinan usando el producto punto el resultado es un escalar.

Producto cruz: Es una operación binaria entre dos factores es un espacio tridimensional. El resultado es un vector perpendicular a los vectores que se multiplican, y por lo tanto normal al plano que los contiene. Estas propiedades se prueban mediante las propiedades de los determinantess.

Propiedad 1. El determinante de productos de matrices es el producto dde sus determinantes: l A . Bl = lAl . lBl

Propiedad 3. Se pueden extraer factor común de una fila o columna multiplicando el determinante por el factor. l 3 2 3 l 3 2 3 l2 4 6 l =2. 1 2 3 l0 2 1l 0 2 1 - 16 = 2 . (8)

Propiedad 4. Se puede extraer el mismo factor común de n filas o columnas multiplicando el determinante por el factor elevado a n.

Propiedad 5. Si se cambia de una orden una fila o de una columna el determinante cambia de signo.

Propiedad 6. Si se cambia el orden de n filas o columnas, el determinante cambia de signo si n es impar. . 3 2 3 2 4 6 -8 = 2 4 6 = 8 2 2 . 8 2 2 3 2 3

Propiedad 7. Si una matriz es invertible, el determinante de la inversa es el inverso del determinante. .

Propiedad 8. El determinante de una matriz es igual al de su traspuesta. t . lAl = lAl

Propiedad 9. Si una matriz tiene filas o columnas lineales dependientes, entonces su determinante es 0. . 1 2 3 . 2 4 6 = 0 . 1 2 3 Las filas 2 y 3 de la matriz son múltiplos de la primera

Propiedad 2. - El determinante de la matriz con alguna fila o columna es cero = 0 1 0 Ejemplo: A = 1 0 l A l = 0

Resta: consiste en sustraer los elementos de dos o más mattices que conincidan en su posición de sus respectivas matrices y que estas tengan el mismo orden. Ejemplo: a b c 2 2 2 2 2 0 0 2 2 2 - 2 2 0 0

Operaciones con matrices

Multiplicación: sea una matrix n x m y B una matriz n,p; entonces, el producto A y B que lo notamos AB , es una nueva matris digamos C, de tamaño m x p. En donde cada entrada de la nueva matriz, la obtenemos al multiplicar (cada producto) fila i-ésima de A con la columna j ésima de B, este resultado (que es un escalar) corresponde a la matriz c, de la matriz C. 1 5 -1 2 Ejemplo: sea D = 7 3 y E = 4 6 f11 f12 Si llamamos F = DE, entonces F es de la forma F=f21 f22 Ya que: D E D E 2X2 2 X 2 2 X 2 2 X 2 Compatible Tamaño de la matriz F f11 = 1 5 . -1 4 = -1+20 = 19 f12= 1 5 . 2 6 = 2+30 = 32 f21= 7 3 . -1 4 = -7+12= 5 f22= 7 3 . 2 6 = 14+18= 32 Por lo tanto: F = 19 32 5 5 32

Suma: Es cuando cada entrada de la matriz suma, se obtiene sumando los respectivos elementos, (a,b) de cada una de las matrices. 1 2 3 -2 5 7 Ejemplo: Sea A = 4 5 6 y B= 9 11 13 Entonces: 1 + (-2) 2+5 3+7 -1 7 10 A + B = 4 + 9 5+11 6+13 13 16 19 =

Tipos de matrices: -Matriz inversa -Matriz nula -Matriz traspuesta -Matriz rectangulas -Matriz columna -Matriz fila

Métodos para obtenerta: -Método de Gauss : . . . .

-Método de la adjunta: . . . . .

Es la transformación lineal de una matriz mediante la multiplicación del inverso del determinante de la matriz por la matriz adjunta traspuesta. Ósea una matriz inversa es la multiplicación del inverso del determinante por la matriz adjunta transpuesta.