DETERMINANTES Y S.E.L.

DEFINICIONES

$Permutación$

Permutación

Reordenamiento de los elementos de un conjunto S={1,2,3,…n} formado por números enteros ascendentes de 1 a n de forma {j1,j2,j3,…jn}.

Pares e Impares

Si # de inversiones es par: permutación par y (+)

Si # de inversiones es impar: permutación impar y (-)

Inversión

Se da cuando en una permutación hay un entero mayor jr que precede a uno menor js.

Determinante

Sea A=aij una matriz de tamaño n*n, det(A) se define mediante una sumatoria que involucra todas las permutaciones.

Menores

Submatriz Mij de tamaño (n-1) que resulta al eliminar la fila i y la columna j del elemento aij de una matriz A.

CÁLCULO DE DETERMINANTES

Tamaño 2x2: Se multiplica entre los elementos de la diagonal principal y se resta la multiplicación de los elementos de la diagonal secundaria.

Tamaño 3x3 (Sarrus): Se aumentan las dos primeras filas o columnas para realizar el producto entre elementos de las tres diagonales principales menos los productos de las tres diagonales secundarias.

PROPIEDADES

TEOREMA DE LAPLACE

Desarrollo de Cofactores: Se escoge una columna o fila y multiplicamos cada elemento de la misma por el cofactor correspondiente (Aij) que se determina Cij=(–1)i+j*det(Mij).

RANGO DE UNA MATRIZ

Se calcula la determinante de la matriz A:
* Si resultado ≠ 0 -> rango máx
* Si resultado = 0 -> rango < rango máx

Para determinar si rango<rango máx calcular el determinante de los menores:
* Si al menos 1 resultado ≠ 0 -> rango=rango máx - 1

MATRIZ INVERSA POR LA ADJUNTA

Teoremas
* A*Adj(A) = Adj(A)*A = det(A)*I
* Si det(A) ≠ 0  A-1= Adj(A)/det(A)

Matriz Adjunta: es una nueva matriz formada por la transpuesta de la matriz de cofactores. Notación: Adj(A).

TEOREMA DE ROUCHE FROBENIUS

* Solución única: Rango(A) = Rango(A|b) = # incógnitas
* ∞ soluciones: Rango(A) = Rango(A|b) ≠ # incógnitas
* Sin solución: Rango(A) ≠ Rango(A|b) y Rango(A) < Rango(A|b)