Matemáticas para
Economía I

Matrices

Propiedades

Definición: Conjunto de números dispuestos en filas y columnas.

Orden: Número de filas por el número de columnas. Se representa como “m x n”, donde “m” es filas y “n” es columnas.

Representación: Los componentes de A (matriz) son “a” y tienen subíndices “i” para filas y “j” para columnas.

A=[aij]

Rango: Número máximo de filas o columnas que son linealmente independientes. (No dependen o son una combinación de ellas mismas.)

Geometricamente: Significa que al graficar los vectores, no están en la misma línea. De tener direcciones diferentes se dice que son independientes.

Si se observa que son paralelas entonces se cumple que son una combinación lineal de si mismas.

Tipos de matrices

Matriz fila: Matriz conformada por una sola fila de números. También conocida como “vector fila”.

F=[a11 a12 ... a1n]

Matriz columna: Matriz conformada por una sola columna de números. También conocida como “vector columna”.

C=[a11
a21
...
an1]

Matriz nula: Es aquella culyos elementos son nulos, o sea 0.

A=[0 0 0]

Matriz opuesta: Es una matriz similar a A, pero que sus elementos están multiplicados por -1.

A = [1 2 3]
-A = [-1 -2 -3]

Matriz cuadrada: Es una matriz que tiene la misma cantidad de filas y columnas. Su orden es “n x n”

Tiene una Diagional Principal, que está conformada por los elementos de igual subíndice. O sea, a11 a22 ... ann

A = [a11 a12 a13
a21 a22 a23
a31 a32 a33]

Matriz triangular: Son matrices que tienen solo tienen elementos arriba o abajo de la diagonal principal, incluyendo los de la diagonal.

Triangular superior: Elementos por encima de la diagonal principal.

A = [a11 a12 a13
0 a22 a23
0 0 a33]

Triangular inferior: Elementos por debajo de la diagonal princípial.

A = [a11 0 0
a21 a22 0
a31 a32 a33]

Matriz diagonal: Es una matriz que solo tiene elementos en su diagonal principal.

A = [a11 0 0
0 a22 0
0 0 a33]

Matriz identidad: Es una matriz diagonal que tiene “1” en sus componentes. Se denota como I

A = [ 1 0 0
0 1 0
0 0 1]

Matriz idéntica o igual: Es una matriz cuyos elementos son iguales a los de otra, además su orden es igual,

Matriz traspuesta: Es una matriz cuyas columnas y filas han sido cambiadas. Se denota como A^t

At = [a11 a21 a31
a12 a22 a32
a13 a23 a33]

Matriz simétrica: Es una matriz cuya traspuesta es igual a ella misma.

Siendo entonces: a12 = a21, a13 =a31, etc.

La Matriz antisimetrica es la que su traspuesta es igual a la opuesta. Entonces: At = -A

Matriz ídempotente: Es una matriz que multiplicada por ella misma, da como resultado ella misma.

Siendo entonces: A x A = A

Matriz inversa: Es una matriz que multiplicada por la original, da como resultado la matriz identidad.

Siendo entonces: A x A-1 = I

También cumple: A-1 x A = I

Si la matriz existe entonces se llama regular, si no existe, se llama única.

Matriz ortogonal: Es una matriz que multiplicada por su traspuesta da como resultado la identidad.

Su traspuesta es igual a la inversa ( At = A-1 )

Matriz regular: Aquella que admite inversa porque su determinante es diferente a cero.

Matriz singular o única es la que no tiene inversa, porque su determinante es igual a 0.

Determinantes

Propiedades

Aplicaciones

Sistemas de ecuaciones

Propiedades

Aplicaciones y Soluciones

Eigenstuff

Propiedades

Aplicaciones

Otros temas

Dependencia líneal

Se dice que dos vectores son independientes si se cumple que µ1V + µ2W = 0

Esto quiere decir que µ1 y µ2 tienen que ser escalares nulos, para obtener el vector nulo "0".

Dos o más vectores son dependientes si los escalares µ1 y µ2 son distintos a 0.

Esto implicaría que V es un múltiplo escalar de W, ya que:
V = -µ2/µ1 x W

Bases

Las bases son vectores linealmente independientes que generan la totalidad de vectores en el espacio.

Esto se obtiene al realizar operaciones con ellos mismos. Tanto multiplicación como suma y resta está permitido.

Ortogonalidad

Dos o más vectores son ortogonales si su producto es 0.
Debe cumplir: vt x w = 0

Geometricamente: Ortogonalidad significa que los vectores son perpendiculares entre ellos mismos.

Funciones en R

Propiedades

Tanto con una o más variables, se trata de analizar el cambio de una función al generar un cambio en una variable.

Optimización de
una variable

Optimización
multivariable

Optimización

Sin Restricciones

Se utilizan las herramientas de las Derivadas Parciales para desarollar el análisis.

El método más común es la Matriz Hessiana, que se compone de las derivadas parciales de la función. Aunque este compuesta de derivadas, la Hessiana no es una función.

Para encontrar el min o max, se evaluate las derivadas en un punto crítico y después de analizan sus determinantes.

Para un H2, es necesario que:
Max = |H1|<0 y |H2|>0
Min = |H1|>0 y |H2|>0

Para un H3, es necesario que:
Max = |H1|<0 ; |H2|>0 ; |H3|<0
Min = |H1|, |H2| y |H3| < 0

Con Restricciones

Si una función está sujeta a una restricción (llámese producción está sujeta al presupuesto empresarial), se debe optimizar tomando en cuenta dichas limitantes. Los métodos más comunes son por Sustitución o por Multiplicadores de Lagrange

Sustitución: Asi como su nombre lo detalla, la idea es sustituir variables para simplificar el análisis. De esto modo, se tiende a poner la restricción G(x,y) en función de una variable, para poder sustituir en F(x,y).

Dada: w = x2 + y2 + z2
Sujeta a: x - y - 2z = 6

Sustituido: w = (y - 2z + 6)2 + y2 + z2
Ya que: x = y - 2z +6

Resolviendo w (con derivadas parciales)
se encuentra:
y = -1 & z = 2

Resolviendo Rest. se encuentra:
x = 1
El punto crítico de w es (1,-1,2)

Multiplicadores de Lagrange: Este método reduce el problema restringido con n-variables a uno con n+k variables, donde k es el número de restricciones de la función original.

Dada una función f(x,y), sujeta a g(x,y)=c , se elabora una nueva función F(x,y) que cumple:
F(x,y) = f(x,y) - µ (g(x,y) - c)

La primera derivada (FOC) para cada variable y el multiplicador (µ) lleva al óptimo de la función F(x,y) y por ende de f(x,y) y g(x,y).

Se utiliza la Matriz Hessiana Orlada (variante de la Hessiana normal) para determinar qué tipo de punto crítico es.
La matriz es cuadrada y simétrica, pero su orden depende de la cantidad de variables de la función.

Los componentes de la primera fila y columna son los negativos de los elementos de la orla (derivada de la función de restricción)

Sus componentes no son funciones, sino que son evaluados en un punto crítico para determinar si es min, max o inflexión.

Se analizan los menores complementarios del HO:

En R2
Si |H3| = f(x,y,µ) < 0, entonces (x,y) es un min.
Si |H3| = f(x,y,µ) > 0, entonces (x,y) es un max.

En R3
Si |H3| = f(x,y,z,µ) < 0, y |H4|<0, (x,y,z) es un min.
Si |H3| = f(x,y,z,µ) < 0, y |H4|>0. (x,y,z) es un max.

Criterios para más de 3 variables y una restricción, mediante análisis de determinante de submatrices.

1. Si todos son menores que 0, entonces es un mínimo.
2. Si el primer det|Ho| de 3x3 es > 0,
y el segundo de 4x4 < 0, y así sucesivamente, entonces el punto es un máximo.
3. Si todos los det|Ho| son distintos de 0, pero no siguen un orden definido, entonces es un punto de inflexión.
4. Si no se da ningun caso, el criterio no concluye nada.

Curvas de Nivel

Son representaciones gráficas de 3 dimensiones, en un plano de 2 dimensiones. Generalmente se trabaja en el plano xy y da como resultado una serie de líneas que indica donde está el valor de la tercera variable dadas las otras.

Para obtener el plano xy en función de la variable z, se destina z como constante y se depejan los valores de las demás variables.

Las aplicaciones más comunes son las Iscocuantas, Isocostos y las Curvas de Indiferencia.

Propiedades

Definición: Es un modelo en que sus variables se relacionan con sus derivadas, y sus variables suelen ser continuas.

La mayor parte toman el tiempo t como variable independiente, por lo que modelan el comportamiento de algo, con respecto al tiempo.

Orden: Es el máximo grado de diferencial que contiene la ecuación.

2y' = 2y -> primer orden
y'' + y' = y -> segundo orden
d3y/dx = y -> tercer orden

Solución de ED: Es una función f que cuando se sustituye en otra ecuación con sus diferenciales (derivadas), da como resultado la igualdad y = f(x).

Resolver una ED implica encontrar una función (o familia de funciones) que satisfacen la ecuación y sus condiciones iniciales.

Solución General: Es una solución de f(x) de forma
y = x3/3 + C

Condición Inicial: Es una situación de forma y(t0) = y0, en la cual se debe encontrar una solución que satisfaga la condición.

Otros métodos de Solución

Campos Direccionales: Resultado de dibujar la pendiente de varias soluciones en un plano cartesiano. A un plano con las posibles pendientes se le conoce como campo direccional.

Estos segmentos de recta indican en que dirección apunta una curva de solución de la función.

Método de Euler: Propone usar el valor inicial y rectas tangentes al campo direccional para encontrar una curva que se asemeja a la solución. Esto se obtiene al ir reduciendo el "tamaño de paso" de x para producir una solución acertada.

Utiliza una función linear para producir los nuevos pasos de la gráfica. Por ejemplo, para x=0.5, y=2x+0.5

Tipos de ED

Autonoma: Es una ecuación en la que la variable independiente no está de forma explicita.
Tiene forma de y' = y+c ; en vez de y' = y+x

Homogénea

Separable

Lineal (no lineal): Es una ecuación en la que el grado máximo de f(x) ( y sus diferenciales) es 1. Puede tener otros términos de grado superior, pero seguir siendo lineal en y.

Ordinarias (EDO): Son ecuaciones que solo contienen derivadas ordinarias, o sea no utilizan derivadas parciales.

Parciales (EDP): Son ecuaciones que contienen tanto derivadas ordinarias como derivadas parciales de las variables definidas.

Ejemplos y Usos