by Greisy Bernal 4 years ago
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Los exponentes racionales, surgen cuando una expresión radical se expresa como potencia, es decir: En la expresión de la imagen tenemos "n" como indice radical y "m" como exponente de "a", y podemos observar que al representarse como una potencia, "a" se mantiene como base de la potencia, el exponente "m" representa el numerador y el indice radical "n" representa el denominador del exponente racional o fraccionario.
Toda potencia con exponente negativo es igual al inverso multiplicativo de la base, elevada al exponente positivo, es decir: a-n = 1/an; 1/a-m = am; (a/b)-n = (b/a)n
Exponentes iguales
Se deja el exponente y se hace la operación indicada a realizar. an.b.n = (a.b)n ó an/b.n = (a/b)n Ej: 54.34 = (5.3)4 = 154 ó 83/43 = (8/4)3 = 23
Potencia de Potencias
Se deja la base y se multiplican los exponentes. (an)m = an.m
Bases Iguales
División: Se deja la misma base y se restan los exponentes. an / am = an-m
Producto
Suman los exponentes y se deja la misma base.
Básicas
1n = 1 a0 = 1 a1 = a
Números Imaginarios y complejos
Conjugado y opuesto
Se puede observar que para el complejo: Z = 2+3i, su conjugado, es equivalente a cambiar el signo solo del imaginario y se ve como un reflejo sobre el eje horizontal Z conjugado = 2-3i, mientras que el opuesto a Z se cambian ambos signos y se ve en la imagen como el vector opuesto por el origen -Z = -2-3i
Operaciones
División
Multiplicación
El producto de dos números complejos se realiza como dos binomios normales, en el resultado se suman los Reales y los imaginarios y el término i2; se opera con su valor equivalente (-1) y se opera con los Relaes
Suma/Resta
La suma o resta de complejos es otro número complejo, solo se realiza las operaciones por separado, por un lado los Reales y da el resultado Real y por otro lado con los imaginarios.
Representación
Polar
La forma polar de expresar un complejo es mediante la norma o distancia del vector que se forma en el plano cartesiano y el ángulo que forma con la horizontal positiva. La norma se obtiene por pitagoras ya que es la hipotenusa del triángulo rectángulo que se forma: |Z|=Raiz(R2 + i2). El ángulo se obtiene trigonometricamente como: ángulo = ArcTang (i/R) = Tang-1 (i/R)
Cartesiana
La forma cartesiana es representar el número complejo como un par ordenado donde la primera componente es la Real y la segunda es la Imaginaria, (R, i). Para el ejemplo el complejo Z = 4+3i se ve dibujado en la imagen por el par ordenado (4, 3)
Binomial
Un número complejo esta formado por una parte real y una parte imaginaria: Z = x + yi Ej. Sea "Z" el número complejo Z = 4 + 3i, donde 4 es la parte real (R) y 3 la parte imaginaria (i)
Potencias de i
i0 = 1; todo número elevado a la cero = 1 i1 = i; todo # elevado a 1 es el mismo #. i2 = -1; De la definición de imaginario. i3 = -i; producto de i.i2 = i.(-1) = -i. i4 = 1; producto de i2.i2 = (-1).(-1) = 1 De manera que cada potencia de 4 el ciclo se repite. i9 = i; producto i4.i4.i = 1.1.i = i
Definición
La ecuación x2+a=0 con “a” un número real positivo, no tiene solución en el conjunto de los números reales porque el cuadrado de un número real siempre es positivo y al ser sumado con un número positivo su resultado no puede ser igual a cero, explicado de otra manera, las raíces con índice par de números negativos, no tienen solución en el conjunto de los reales (R). Para dar solución a este tipo de ecuaciones, se generó un nuevo conjunto numérico denominado, números imaginarios. La unidad principal o unidad imaginaria está representada por la letra “i” y está definida como aparece en la imágen.
