圆

首先，在占有材料相同的情况下，圆形具有最大的面积。几何学告诉我们，这时圆的面积比其他任何形状的面积都来得大，如果有相同数量的材料希望做成容积最大的东西，当然圆形是最合适的了。自来水管、煤气管等，就是对这一自然现象的仿造。
其次，圆柱体具有最大的支撑力。
再者能防止外来的伤害。我们知道，如果植物的茎是方形、扁形或有其他棱角的，更容易受到外界的冲击伤害。圆形的就不同了，狂风吹打时，不论风卷着尘砂杂物从哪个方向来，都容易沿着圆面的切线方向掠过，受影响的只是极少部分。
因此，茎的形状，也是植物对自然环境适应的结果。

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点与圆

位置判别

点在圆内 d<r

点在圆上 d=r

点在圆外 d>r

点定圆

过一点 无数个圆

过两点 无数个圆

过三点

三点共线 不能决定

不共线 一个圆

直线与圆

相交

条件 d<r

直线的名称 割线

垂径定理

垂直于弦的直径平分这条弦，且平分这条弦所对的两条弧。数学表达为：如图，DC为圆O的直径，直径DC垂直于弦AB，则AE=EB，劣弧AC等于劣弧BC。

相切

条件 d=r

直线名称 切线

判定方法

有且仅有一个交点

到圆心的距离等于半径

切线长定理

从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线，平分两条切线的夹角。

弦切角

弦切角的度数等于它所夹的弧的圆心角的度数的一半.
如图，∠PCA=1/2∠COA=∠CBA

相离

条件 d>r

三角形与圆

内切

内心 三角形内角角平分线的交点

圆的半径=2s/(a+b+c)

外接

外心 三角形垂直平分线的交点

锐角三角形 三角形内

直角三角形 斜边上

钝角三角形 三角形外

公式

p=(a+b+c)/2

s=sqrt(p*(p-a)*(p-b)*(p-c)

r=s/p

圆与圆

（1）外离

d>R+r

（2）外切

d=R+r

（3）相交

R-r<d<R+r

（4）内切

d=R-r

（5）内含

0=<d<R-r

方程

标准式

(x－a)^2+(y－b)^2=r^2

一般式

x^2+y^2+Dx+Ey+F=0

配方化为标准方程

（x+D/2）^2.+(y+E/2)^2=(D^2+E^2-4F)/4

条件

D^2+E^2-4F>0

圆心坐标

（-D/2,-E/2）

半径

r=[√（D^2+E^2-4F）]/2

定义

1、平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形

2、平面上一条线段，一个端点绕它的另一个端点旋转一周，所留下的轨迹

Subtopic

组成

圆心o

定义（1）中，该定点为圆心

定义（2）中，绕的那一端的端点为圆心

圆任意两条对称轴的交点为圆心

垂直于圆内任意一条弦且两个端点在圆上的线段的二分点为圆心

直径d

通过圆心，并且两端都在圆上的线段叫做圆的直径

半径r

连接圆心和圆上任意一点的线段，叫做圆的半径

周长c

围成圆的曲线的长度叫做圆的周长

面积s

圆所占平面的大小叫做圆的面积

s=πr^2

球体

定义

空间中到定点的距离小于或等于定长的所有点组成的图形叫做球。

球体是一个连续曲面的立体图形，由球面围成的几何体称为球体。

世界上没有绝对的球体。绝对的球体只存在于理论中。但在失重环境（如太空）中，液滴自动形成绝对球体。

球形的立体物

指球形的体育用品，球类运动，包括手球、篮球、足球、台球，排球、羽毛球、网球、高尔夫球、冰球、沙滩排球、棒球、垒球、藤球、毽球、乒乓球、台球、鞠蹴、板球、壁球、沙壶、冰壶、克郎球、橄榄球、曲棍球、水球、马球、保龄球、健身球、门球、弹球等。

数学中的球体

球体基本概念

半圆以它的直径为旋转轴，旋转所成的曲面叫做球面。

球面所围成的几何体叫做球体，简称球。

半圆的圆心叫做球心。

连结球心和球面上任意一点的线段叫做球的半径。

连结球面上两点并且经过球心的线段叫做球的直径。

球体性质

1 球心和截面圆心的连线垂直于截面。

2 球心到截面的距离d与球的半径R及截面的半径r有下面的关系：r^2=R^2-d^2

3 在球面上，两点之间的最短连线的长度，就是经过这两点的大圆在这两点间的一段劣弧的长度，我们把这个弧长叫做两点的球面距离。

球体函数

半径为r的球的函数为：r^2=x^2+y^2+z^2

球体的计算公式

半径是R的球的体积计算公式是：V=（4/3）πR^3

半径是R的球的表面积计算公式是：S=4πR^2

球体图片

圆柱体

定义

在同一个平面内有一条定直线和一条动线，当这个平面绕着这条定直线旋转一周时，这条动线所成的面叫做旋转面，这条定直线叫做旋转面的轴，这条动线叫做旋转面的母线。如果用垂直于轴的两个平面去截圆柱面，那么两个截面和圆柱面所围成的几何体叫做直圆柱，简称圆柱体。

性质

1.圆柱的两个圆面叫底面，周围的面叫侧面，一个圆柱体是由两个底面和一个侧面组成的。

2.圆柱体的两个底面是完全相同的两个圆面。两个底面之间的距离是圆柱体的高。

3.圆柱体的侧面是一个曲面，圆柱体的侧面的展开图是一个长方形、正方形或平行四边形（斜着切）。

数学公式

圆柱的侧面积=底面周长x高，即：
S侧面积=Ch=2πrh

底面周长C=2πr=πd

圆柱的表面积=侧面积+底面积x2=2πr2+Ch=2πr（r+h)

.圆柱的体积=底面积x高
即 V=S底面积×h=(π×r×r)h

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圆锥体

定义

一个直角三角形以一条直角边为轴顺时针或逆时针旋转一周，经过的空间叫圆锥体。

特点

圆锥的侧面积：将圆锥的侧面积不成曲线地展开，是一个扇形。

圆锥的高：从圆锥的顶点到底面圆心的距离是圆锥的高。圆锥的高只有一条。

圆锥的母线：圆锥的顶点到圆锥的底面圆周之间的距离。一般用字母L表示。

计算公式

圆锥的侧面积=母线的平方×π×360分之扇形的度数

圆锥的侧面积=1/2×母线长×底面周长

圆锥的侧面积=高的平方×3.14×百分之扇形的度数

圆锥的表面积=底面积+侧面积 S=πr²+πrl （注l=母线）

圆锥的体积=1/3底面积乘高 或 1/3πr的平方h

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圆台

定义

用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥，底面与截面之间的部分叫做圆台，圆台同圆柱和圆锥一样也有轴、底面、侧面和母线，并且用圆台台轴的字母表示圆台。

以直角梯形垂直于底边的腰所在直线为旋转轴，其余各边旋转而形成的曲面所围成的几何体叫做圆台．旋转轴叫做圆台的轴．直角梯形上、下底旋转所成的圆面称为圆台的上、下底面，另一腰旋转所成的曲面称为圆台的侧面，侧面上各个位置的直角梯形的腰称为圆台的母线，圆台的轴上的梯形的腰的长度叫做圆台的高，圆台的高也是上、下底面间的距离．

公式

圆台的体积公式：V=[S+S'+√(SS')]h÷3=πh(R²+Rr+r²)/3

圆台的表面积公式：S=πr²+πR²+πrl+πRl=π(r²+R²+rl+Rl)

性质

同别的棱台一样，若它是一个圆锥体在½处截断，则上底半径也应为下底的1/2。

平行于底面的截面是圆。

过轴的截面是等腰梯形。

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