Es el conjunto de los números reales existen dos operaciones que conocemos como la suma o adición y el producto o multiplicación.También, hay once axiomas en cuanto a estas operaciones de los números reales, los cuales se toman como ciertos sin demostración
Axioma 1: Para cualesquiera dos números reales a y b , la suma es también un numero real. A esta propiedad se le conoce como cerradura de la adición.
Axioma 2: Para cualesquiera tres números reales a,b y c, el resultado de sumar a al número (b + c) es igual al resultado de sumar (a + b) al numero c. Es decir. a+(b+c)=(a+b)+c. A esta propiedad se le conoce como Asociatividad de la adición
Axioma 3: El orden en que se sumen dos números reales cualesquiera, no altera su resultado. A esta propiedad se le conoce como conmutativo de la adición.
Axioma 7: Para cualesquiera tres números reales a, b y c, el resultado de multiplicar el número a por el número (b · c) es igual al resultado de multiplicar (a · b) por el número c. Es decir, a · (b · c) = (a · b) · c. A esta propiedad se le conoce como asociatividad del producto.
Axioma 6: Para cualesquiera dos números reales a y b, el producto de estos números es también un número real. A esta propiedad se le conoce como cerradura del producto.
Axioma 5: Para cualquier número real a, existe otro número real denotado por −a tal que a + (−a) = 0. A esta propiedad se le conoce como existencia del inverso aditivo.
Axioma 4: En los números reales existe el 0, el cual representa un elemento neutro para la suma. Es decir, a + 0 = a para cualquier número real a. A esta propiedad se le conoce como existencia de un neutro para la adición y el cero es conocido como neutro aditivo.
Ejemplo 1: Tomemos a = 11/2 y b = 8.31. Entonces a + b = 11/2+8.31 = 5.5+8.31 = 13.81 y 13.81 está en R.
Ejemplo 3: Tomemos a = 1/2 y b = 2.5. Entonces a + b = 1/2 + 2.5 = 0.5 + 2.5 = 3 y b + a = 2.5 + 1/2 = 2.5 + 0.5 = 3. Por lo que a + b = b + a.
Ejemplo 4: Tomemos a = −15/2, entonces a + 0 = −15/2 + 0 = 7.5 + 0.0 = 7.5 = 15/2 = a
Ejemplo 5: Tomemos a = π, entonces −a = −π. Por lo que a + (−a) = π + (−π) = 3.14159 . . . + (−3.14159 . . .) = 0
Ejemplo 6: Tomemos a = 2 y b = 3.1416 (notar que b que no es π). Entonces a · b = (2) · (3.1416) = 6.2832 que est´a en R.
Ejemplo 7: Tomemos a = 3/2, b = 4/3, c = −12. Entonces a · b = (3/2) · (4/3) = 12/6 = 2 y (a · b) · c = (2) · (−12) = −24. Por otro lado b·c = (4/3)·(−12) = −48/3 = −16 y a·(b·c) = (3/2)·(−16) = −48/2 = −24. Por tanto a · (b · c) = (a · b) · c.
Axioma 8: El orden en que se multipliquen dos números reales cualesquiera, no altera su resultado. A esta propiedad se le conoce como conmutatividad del producto.
Ejemplo 8: Tomemos a = 2.4 y b = −15. Entonces a · b = (2.4) · (−15) = (12/5) · (−15) = −180/5 = −36. Por otro lado, b · a = (−15) · (2.4) = (−15) · (2.4) = (−15) · (12/5) = −180/5 = −36.
Axioma 9. En los números reales existe el 1 (que es distinto de 0), el cual representa un elemento neutro para el producto. Es decir, a · 1 = a para cualquier número real a. A esta propiedad se le conoce como existencia de un neutro para el producto y el uno es conocido como el neutro para el producto.
Ejemplo 9: Tomemos a = − √ 5/2, entonces a · (1) = (−√5/2) · (1) = −√5/2 = a.
Axioma 10: Para cualquier número real a distinto de 0, existe otro número real denotado por a−1 tal que a · (a−1) = 1. A esta propiedad se le conoce como existencia del inverso para el producto.
Ejemplo 10: Tomemos a = 19/5, puesto que a no es cero, tenemos que a−1 = 5/19, por lo que a · (a−1) = (19/5) · (5/19) = (19/19) · (5/5) = (1) · (1) = 1.
Axioma 11: Para cualesquiera tres números reales a, b y c se tiene que el producto de a con la suma (b + c) es igual al producto de a · b más el producto a · c. Es decir, a · (b + c) = a · b + a · c. A esta propiedad se le conoce como distributividad del producto sobre la adición.
Ejemplo 11: Tomemos a = −3, b = 5.627, c = −1.2, entonces b + c = 5.627 + (−1.2) = 4.427, por lo que a · (b + c) = (−3) · (4.427) = −13.281 Por otro lado, a · b = (−3)·(5.627) = −16.881 y a · c = (−3)·(−1.2) = 3.6. Lo que implica que a · b + a · c = (−16.881) + (3.6) = −13.281 Por tanto, a · (b + c) = a · b + a · c.
Ejemplo 4: Tomemos a = 5, b = π, c = −4.141 Entonces a + b = 5 + π = 5 + 3.14159 . . . = 8.14159 . . . Por lo que (a + b) + c = 8.14159 . . . + (−4.141) = 4.00059 . . . Por otro lado, b + c = π + (−4.141) = 3.14159 . . . + (−4.141) = −1.00059 . . . Así, a + (b + c) = 5 + (−1.00059) = 4.00059 . . . Por lo tanto (a + b) + c = a + (b + c).
