ГЕОМЕТРИЧНІ ПЕРЕТВОРЕННЯ ПЛОЩИНИ

Означення руху. Властивості.

Рухом називається таке перетворення площини, яке зберігає відстані між точками.Впорядковану трійку точок , площини, які не лежать на одній прямій називають репером.Позначають: R=(A,B,C).Точку A називають початком, а B,C – вершинами.Властивості руху1. Рух переводить пряму у пряму, причому паралельні прямі в паралельні прямі.2. Рух зберігає просте відношення трьох точок.3. Рух зберігає поняття „лежати між”.4. Рух переводить півплощину з границею l в півплощину з границею l' , де l' – образ прямої l .5. Рух переводить промінь в промінь.6. Рух переводить кут в рівний йому кут (так як переводить трикутник в рівний йому трикутник).Будемо говорити, що перетворення площини зберігає орієнтацію площини, якщо репер R і його образ R' однаково орієнтовані і змінює орієнтацію площини, якщо R і R' протилежно орієнтовані.

Класифікація рухів. Аналітичне задання. Інваріантність.

Інваріантна точка (нерухома) перетворення – це точка, яка переходить в себе при даному перетворенні.

Інваріантна пряма (нерухома) – це пряма, кожна точка якої переходить в точку цієї ж прямої при даному перетворенні .

Частинним випадком інваріантної прямої,є пряма інваріантних точок, усі точки якої є інваріантними.

Інваріантна точка (нерухома) перетворення – це точка, яка переходить в себе при даному перетворенні.Інваріантна пряма (нерухома) – це пряма, кожна точка якої переходить в точку цієї ж прямої при даному перетворенні .Частинним випадком інваріантної прямої,є пряма інваріантних точок, усі точки якої є інваріантними.

Формули аналітичного задання руху

ПОДІБНІСТЬ. ГОМОТЕТІЯ

Означення, властивості гомотетії.

Властивості гомотетії:1. Гомотетія з коефіцієнтом m, який не дорівнює 1 переводить пряму, яка не проходить через центр гомотетії в паралельну їй пряму, а пряму яка проходить через центр гомотетії в себе.2. Гомотетія зберігає просте відношення трьох точок.3. Гомотетія переводить відрізок у відрізок, промінь у промінь, півплощину в півплощину.4. Гомотетія переводить кут у рівний йому кут.5. Гомотетія зберігає орієнтацію площини.

Аби гомотетія була визначена, повинен бути заданий центр гомотетії і коефіцієнт.

Якщо фігури розташовані на протилежних напрямах від центру гомотетії, то коефіцієнт від'ємний.

Центральний гомотетії може розташовуватися і всередині фігури.

Формули аналітичного задання

Означення, властивості подібності.

Властивості подібності:1. Подібність переводить пряму в пряму, паралельні прямі в паралельні прямі.2. Подібність зберігає просте відношення трьох точок.3. При перетворенні подібності кут переходить в рівний йому кут.4. При подібності півплощина переходить у півплощину.5. Подібність змінює орієнтацію площини, якщо рух змінюєорієнтацію площини (рух невласний) і не змінює в противному (якщо рух власний). В першому випадку перетворення подібності називається невласним (перетворенням подібності 2-го роду ), в другому – власним (перетворенням подібності 1-го роду ).

ЗАДАЧІ

Паралельне перенесення

Усередині паралелограма ABCD взято точку О так, що <OAD=<OCD.
Доведіть, що <OBC=<ODC

Осьова симетрія

Дано рівнобедренний трикутник АВС. Провели пряму l, яка містить бісектрису кута С. Потім увесь рисунок витерли, залишивши лише точки А і В та пряму l. Відновіть трикутник АВС.

Центральна симетрія

Точка М належить куту АВС. На сторонах ВА і ВС кута знайдіть такі точки E i F, щоб точка М була серединою відрізка ЕF.

Поворот

На рисунку зображено пряму а і точку О. Побудуйте образ прямої а при повороті навколо точки О проти годинникової стрілки на кут 45 градусів.

Гомотетія

У гострокутний трикутник АВС впишіть квадрат так, щоб дві його вершини лежали відповідно на сторонах АВ і ВС, а дві інші - на стороні АС.

ЗАДАЧІ ДЛЯ САМОСТІЙНОГО ОПРАЦЮВАННЯ

Текущая тема

Якщо рух не змінює орієнтації площини, то його називають власним (рухом І роду),
якщо змінює, то – невласним (рухом ІІ роду)

Аби поворот мав місце, повинен бути заданий центр O і кут повороту α.

Проти годинникової стрілки буде додатний кут повороту, а за годинниковою стрілкою — від'ємний (так само, як кути повороту в одиничному колі).

Кроки побудови фігури, що центрально симетрична даній.

Точка площини M переходить у точку площини M1 за наступним законом:1. Із точки M проводиться пряма, що з'єднує точку з центром симетрії (точкою O ).2. На прямій відкладається відрізок OM1=OM і розташовується точка M1.Щоб відобразити фігури в симетрії відносно точки, достатньо відобразити відповідні вершини.

Щоб здійснити паралельне перенесення, потрібно знати напрям і відстань, що означає задати вектор.

Аби при паралельному перенесенні побудувати зображення многокутника, достатньо побудувати зображення вершин цього многокутника.

Кроки побудови фігури, що симетрична даній по заданій осі.

Точка площини M переходить у точку площини M1 за наступним законом:1. Із точки M проводиться перпендикуляр до осі симетрії (прямої) і виходить точка P — точка перетину перпендикуляра з віссю.2. На перпендикулярі відкладається відрізок PM1=PM і розташовується точка M1 .Щоб відобразити фігури в симетрії відносно прямої, достатньо відобразити відповідні вершини.