CONTINUIDAD

Las funciones habituales definidas por una sola expresión analítica son continuas en todos los puntos en los que están definidas. Por el contrario, las funciones definidas a trozos pueden presentar discontinuidades en los puntos de cambio de rama.

Si observas con detenimiento los distintos puntos de las gráficas anteriores en los que las funciones sí son contínuas y los comparas con los puntos de discontinuidad te percatarás de que:

Decimos que una función es continua en x=a cuando: f(a)=limx→af(x)

Observa que la condición f(a)=limx→af(x), implica, en realidad, tres condiciones:
La función está definida en x=a: ∃ f(a)
Existe el límite, y es finito: ∃limx→af(x)∈R.

Esta condición implica que los límites laterales coinciden: limx→a−f(x)=limx→a+f(x)
Finalmente, que los dos valores anteriores coinciden

Decimos que una función es continua en un intervalo abierto (a,b) cuando es continua en todos los puntos pertenecientes a dicho intervalo.

La definición anterior es aplicable a los intervalos infinitos. Así, las funciones elementales que estudiamos normalmente, definidas por una sola expresión analítica, como por ejemplo, f(x)=3x2+3, f(x)=cos(x) ó f(x)=x−−√ son continuas en todo su dominio.

Continuidad en intervalo abierto (a,b)

A la izquierda, en 1, la función es continua en todos los puntos del intervalo abierto (a,b). Por ello decimos que es continua en el intervalo. A la derecha, en 2, la función presenta un punto de discontinuidad en x=c, con lo que decimos que la función no es continua en dicho intervalo.

Recuerda que para definir la continuidad en un punto es necesario que la función esté definida en un entorno del propio intervalo.

A diferencia de lo que ocurría con los intervalos abiertos, no siempre es posible encontrar un entorno en los extremos de los intervalos cerrados que permita aplicar la definición de continuidad tal cual ha sido presentada:

De hecho, solo tiene sentido plantear la continuidad por la derecha en el extremo inferior del intervalo, y la continuidad por la izquierda en el extremo superior. De ahí que:

Decimos que una función es continua en un intervalo cerrado [a,b] cuando:
f(x) es continua en el intervalo abierto (a,b). Esto cubre todos los puntos del intervalo salvo los extremos

limx→a+f(x)=f(a) y limx→a−f(x)=f(b). Esto contempla la continuidad por la derecha de a y la continuidad por la izquierda de b respectivamente

Una discontinuidad en matemática es un punto de una función y=f(x) en la cual la misma sufre un "salto" o cambio "brusco" de valor.

Se verifica una discontinuidad cuando el valor de la función en un punto difiere del límite de esa función cuando nos acercamos a ese punto por derecha y por izquierda.

Se produce cuando existe el límite en el punto, y es finito, pero la función no está definida en él o, estándolo, tiene un valor distinto. Precisamente por eso se llama evitable: bastaría añadir o cambiar solo un punto para que la función fuese continua. Así:

1. limx→af(x)=k

2. ∄ f(a) ó f(a)≠k

Discontinuidad evitable

Dos casos posibles de discontinuidad evitable. A la izquierda, en 1, existe el límite (k) pero no la función en a, lo cual se indica por el punto blanco en el trazado de la misma. A la derecha, en 2, la función está definida en a, pero no coincide con el valor del límite, k.

Discontinuidad inevitable

También conocida como discontinuidad esencial, se da cuando no existe el límite por no coincidir los límites laterales, o existiendo no es un valor finito.

Sean f(x) y g(x) dos funciones continuas en x=a. Se cumplen las siguientes propiedades:

La suma de funciones continuas en a es continua en a

f(x) es contínua en ag(x) es contínua en a}f(x)+g(x) es continua en x=a

El producto de funciones continuas en a es continuo en a

f(x) es contínua en ag(x) es contínua en a}f(x)⋅g(x) es continua en x=a

El cociente de funciones continuas en a es continuo en a, siempre que no se anule el denominador

f(x) es contínua en ag(x) es contínua en ag(a)≠0⎫⎭⎬⎪⎪f(x)/g(x) es continua en x=a

CONSECUENCIAS

Las funciones polinómicas son continuas en ℝ

La función constante f(x)=k es continua en ℝ. La función identidad f(x)=x también lo es. Un monomio puede ser considerado un producto de funciones identidad con una función constante.

Que también será continuo en ℝ por estar formado por el producto de varias funciones continuas. Así, por ejemplo f(x)=3·x4=3·x·x·x·x. Finalmente, un polinomio es la suma de varios monomios, y por tanto también será continua en ℝ.

Las funciones racionales son continuas en su dominio, es decir, en todos los puntos que no anulen el denominador

Las funciones compuestas son continuas en su dominio