Mappa di Matematica
(che non pretende di essere completa :-)

Che cos'è la parabola?

La parabola, dati all'interno del piano una retta r e un punto F non appartenente alla direttrice d, è il luogo dei punti equidistanti da F e da d. Presenta un vertice, definito con la dicitura V. Viene descritta come luogo geometrico.

Che cos'è la retta?

La retta r fa parte dei tre enti fondamentali della geometria euclidea. E' un luogo geometrico immateriale, che possiede la caratteristica di avere una sola dimensione, ovvero la lunghezza. E' inoltre descritta dal seguente tipo di equazione lineare:
ax+by+c=0 con a,b,c ∈ ℝ

Che cos'è il fuoco?

Il fuoco F di una parabola, facente parte del piano, è il punto che rispetto ad ogni punto della parabola è EQUIDISTANTE dalla direttrice d.

Che cos'è la direttrice?

La direttrice d è la retta che rispetto ad ogni punto della parabola è EQUIDISTANTE dal fuoco F.

Come si calcolano le seguenti variabili?

Che cos'è il vertice?

Il vertice V è il punto di intersezione tra la parabola e l'asse di simmetria

Cos'è l'asse di simmetria?

L'asse di simmetria è la retta che divide una figura piana in due parti uguali.

Che cos'è il luogo geometrico?

Il luogo geometrico è l'insieme di tutti i punti del piano che soddisfano una certa condizione o godono di una certa proprietà. Tale condizione viene espressa matematicamente.

Come viene descritta geometricamente la parabola?

Viene descritta come particolare sezione conica non degenere.

Come si disegna una parabola?

Per disegnare una parabola, tracciamo una retta r, parallela alla direttrice d. Tracciamo la circonferenza γ, di centro F e raggio uguale alla distanza di r da d. I due punti, A e A' dove γ incontra r sono equidistanti da F e da d, quindi fanno parte della parabola che ha fuoco in F e direttrice in d. Tracciando un'altra retta s parallela ad r e a d, e ripetendo l'analogo procedimento, si possono costruire altri due punti della parabola B e B', e così via. Così facendo, si potranno congiungere questi punti con una linea continua per poter ottenere una curva che rappresenta con approssimazione la parabola.

Cosa significa non degenere?

Non degenere, nel campo della geometria, più precisamente nelle coniche, significa che considerando un cono a due falde, il piano creante la figura geometrica derivante non passa per il vertice V.

A cosa serve la parabola?

La parabola è uno dei luoghi geometrici più usati nel campo della fisica, della meccanica, della resistenza dei materiali, quanto nel campo pratico: è possibile calcolare il prodotto tra due numeri, come anche rappresentare un trinomio di secondo grado attraverso il piano cartesiano, fino ad arrivare alla costruzione di antenne satellitari, accendini solari, telescopi astronomici e si potrebbe continuare così per ore. Questo ci dimostra ancora una volta che tutto ciò che impariamo dalla matematica non sono soltanto concetti di teoria, ma vere e proprie pillole di vita, che possono donarci la capacità di creare, assemblare, progettare.

Cos'è la goniometria?

La goniometria è la branca della matematica che studia gli angoli in relazione agli archi associati ad essi, le loro proprietà algebriche e le funzioni angolari.

Cosa sono gli angoli?

Viene definito angolo la figura composta dalle due semirette, detti lati dell'angolo, a e b, e da una delle due parti in cui il piano è diviso da a e b. Inoltre l'origine delle due semirette è definita come vertice.

In che modo si possono calcolare?

E' possibile calcolare la misura di un angolo grazie ai gradi e ai gradianti.

Cos'è il grado?

Il grado, indicato dal simbolo °, è definito come la trecentosessantesima parte dell'angolo giro. Il sistema di misura utilizzato quindi è di tipo sessagesimale, ovvero la divisione del grado in 60 parti uguali. Così abbiamo i gradi decimali, che vengono caratterizzati dall'utilizzo dei primi e dei secondi, e i gradi, che utilizzano soltanto °.

Cos'è il radiante?

Il radiante è la misura dell'arco che intercetta sulla circonferenza goniometrica, una volta che l'angolo sia posto in posizione normale. Il valore è compreso tra -1 e 1.

Che tipo di angoli esistono?

Gli angoli possono essere: concavi o convessi, piatti, giri o nulli, acuti, retti o ottusi.

Che differenza c'è tra concavi e convessi?

La differenza tra angoli concavi e convessi è che i primi non contengono i prolungamenti di a e b, mentre gli ultimi si.

Che differenza c'è tra piatti, giri e nulli?

La differenza tra angoli piatti, giri e nulli è che nei primi a e b sono semirette opposte, nei secondi a e b sono semirette coincidenti e non hanno al suo interno tutti i punti del piano, e negli ultimi a e b sono semirette coincidenti e non hanno al suo interno alcun punto del piano.

Esistono altri tipi di classificazione?

Gli angoli possono essere classificati anche in coppie: troviamo infatti quelli consecutivi, adiacenti, opposti al vertice e congruenti.

Quali sono gli angoli consecutivi?

Sono quegli angoli che hanno un lato e un vertice in comune.

Quali sono gli angoli adiacenti?

Sono quegli angoli che sono consecutivi e i lati non comuni sono semirette opposte.

Quali sono gli angoli opposti al vertice?

Sono quegli angoli che hanno i lati di uno come prolungamento dell'altro.

Quali sono gli angoli congruenti?

Sono quegli angoli che hanno la stessa ampiezza. Quando questi vengono sovrapposti, coincidono punto per punto.

Che differenza c'è tra acuti, retti e ottusi?

La differenza tra angoli acuti, retti e ottusi è che i primi hanno un'ampiezza minore strettamente di 90°, i secondi hanno un'ampiezza di esattamente 90°, mentre gli ultimi hanno un'ampiezza maggiore strettamente di 90°.

Cosa sono gli archi associati?

Gli archi associati sono coppie particolari di angoli, la cui somma o differenza è pari all'ampiezza di un particolare angolo. Permettono di semplificare il calcolo del funzioni goniometriche. Un esempio sono gli angoli supplementari, che differiscono di esattamente 180° e sono diametralmente opposti.

Cosa sono le funzioni goniometriche?

Le funzioni goniometriche sono le funzioni di un angolo, ovvero quelle che variano in funzione dell'angolo. Sono definite spesso come rapporti tra i lati di un triangolo rettangolo contenente l'angolo.

Da cosa sono definite queste funzioni?

Considerato un angolo α in posizione normale e A il punto di intersezione del secondo lato dell'angolo con la circonferenza goniometrica, si avranno tre possibilità: seno, coseno e tangente. L'unità di misura è il radiante, rad. Il valore numerico di questi elementi è compreso tra -1 e 1. A volte è necessario anche utilizzare la cotangente.

Cos'è il seno?

Il seno, indicato con la dicitura sinx o senx, è l'ordinata del punto A, oppure dato un triangolo rettangolo, il seno è definito come rapporto tra il cateto opposto all'angolo e l'ipotenusa.

Cos'è il coseno?

Il coseno, indicato con la dicitura cosx, è l'ascissa del punto A, oppure dato un triangolo rettangolo, il coseno è definito come rapporto tra il cateto adiacente all'angolo e l'ipotenusa.

Cos'è la tangente?

La tangente, indicata con la dicitura tanx o tgx, è il rapporto tra l'ordinata e l'ascissa del punto A, oppure dato un triangolo rettangolo, la tangente è definita come rapporto tra il cateto opposto all'angolo acuto considerato e l'altro cateto.

Cos'è la cotangente?

La cotangente, indicata con la dicitura cotanx, cotgx o cotx, è il rapporto tra l'ascissa e l'ordinata del punto A, oppure dato un triangolo rettangolo, la cotangente è definita come rapporto tra il cateto adiacente all'angolo acuto considerato e l'altro cateto.

Cosa sono gli angoli supplementari?

Gli angoli supplementari sono un coppia di angoli che hanno per somma delle loro ampiezze 180°.

Esiste un luogo geometrico dove la goniometria è maggiormente presente?

Il luogo geometrico fondamentale per la goniometria è senza dubbio la circonferenza, in particolare quella goniometrica.

Cos'è la circonferenza?

La circonferenza, descritta come luogo geometrico, è il luogo dei punti del piano equidistanti da un punto fisso detto centro, solitamente indicato con c. La distanza da qualsiasi punto della figura al centro è definita come raggio, indicata solitamente con r.

Algebricamente, come viene descritta?

Viene descritta da un'equazione generale e una normale, anche detta canonica.

Cos'è la circonferenza goniometrica?

La circonferenza goniometrica è un particolare tipo di circonferenza, che possiede un cosiddetto raggio unitario, ovvero raggio pari ad 1, e possiede il centro nell'origine degli assi.

A parte questo, cos'ha di speciale?

Grazie alle sue caratteristiche, permette l'unione fondamentale tra la geometria analitica e la goniometria.

Cos'è la geometria analitica?

La geometria analitica è la branca della geometria che studia le figure piane e i luoghi geometrici attraverso l'utilizzo del piano cartesiano. Proprio per questo, viene anche definita geometria cartesiana.

Cos'è la trigonometria?

La trigonometria, che dal greco significa risoluzione del triangolo, è la branca della matematica che studia la relazione tra le misure dei lati e le funzioni goniometriche degli angoli di un triangolo. Il compito principale di quest'ultima è di calcolare le misure degli elementi dei triangoli, conoscendo almeno tre misure note.

Cos'è il triangolo?

Il triangolo è un poligono avente tre lati e tre angoli. Questo è caratterizzato da diverse proprietà.

Quali sono queste proprietà?

Le proprietà si trovano qui.

Quanti tipi di triangoli esistono?

Esistono triangoli in base ai lati e in base agli angoli.

Quali sono quelli in base ai lati?

I triangoli in base ai lati sono quello scaleno, isoscele ed equilatero.

Qual'è la differenza tra i tre?

Il primo triangolo ha tutti i lati di lunghezze differenti, oppure hanno i tre angoli interni tutti di ampiezza differente.

Il secondo triangolo ha almeno due lati di lunghezza uguale (lati obliqui), oppure hanno due angoli della stessa ampiezza (angoli alla base).

Il terzo triangolo ha tutti i lati della stessa lunghezza, oppure tutti gli angoli interni della stessa ampiezza. Questo viene considerato come caso particolare del triangolo isoscele.

Quali sono quelle in base agli angoli?

I triangoli in base agli angoli sono quello rettangolo, ottusangolo e acutangolo.

Qual è la differenza tra i tre?

Il primo triangolo ha un angolo interno di ampiezza pari a 90°, detto angolo retto.

Il secondo triangolo ha un angolo interno di ampiezza maggiore di 90°, detto angolo ottuso.

Il terzo triangolo ha tutti gli angoli interni di ampiezza minore di 90°, detti angoli acuti.

Dato che per i triangoli esistono vari teoremi, esistono dei teoremi anche per la trigonometria?

Si, i teoremi che caratterizzano questa branca si basano tutti sui triangoli, differenziandosi per teoremi sui triangoli rettangoli e teoremi sui triangoli qualsiasi.

Quali sono quelli sui triangoli rettangoli?

I teoremi sui triangoli rettangoli sono qui.

Semplificato qui.

Quali sono quelli sui triangoli qualsiasi?

I teoremi sui triangoli qualsiasi sono qui. Da uno di questi è possibile perfino calcolare l'area del triangolo.

Quali sono queste misure?

Le misure possono essere sia angoli che lati: è però bene precisare che affinché si possa usufruire della trigonometria il dato noto fondamentale deve essere sempre un lato, definito anche come lunghezza.

Detto ciò, quanti casi è possibile incontrare?

I casi possibili sono qui.

Perché studiare la trigonometria?

Cosa sono gli esponenziali?

Gli esponenziali sono funzioni date da una potenza in cui la base a è costante, mentre l'esponente x varia. Derivanti dalla potenza, ne prendono le stesse caratteristiche e proprietà algebriche.

Che cos'è la potenza?

Possiede delle particolarità?

Sono elencate qui di seguito.

Quali sono queste caratteristiche e proprietà?

La potenza permette di utilizzare l'intero insieme dei numeri reali, indicato con la dicitura ℝ. Proprio grazie a quest'ultimo sono state stabilite delle proprietà che valgono per tutte le potenze: quella dell'addizione, della moltiplicazione, quelle relative all'ordine e quella di completezza, conseguenza di quelle relative all'ordine.

La prima possiede le seguenti caratteristiche.

La seconda possiede le seguenti caratteristiche.

Le terze possiedono le seguenti caratteristiche.

L'ultima possiede le seguenti caratteristiche.

E' possibile utilizzare qualsiasi tipo di base?

No, il dominio della funzione esponenziale impone che a>0 e a≠1.

Perché esistono queste due condizioni?

La base deve essere sempre positiva, perché la potenza necessitare sempre di una base positiva. Di seguito, deve essere diversa da 1, perché in caso contrario, ogni esponente x su base 1 avrebbe come risultato y=1, che risulterebbe essere graficamente una retta.

C'è qualche altra peculiarità riguardante la base?

Cosa sono i numeri irrazionali?

I numeri irrazionali, facenti parte dell'insieme I, sono i numeri reali non razionali, la cui espansione in qualunque contesto non termina mai e non forma una sequenza periodica. In parole povere, sono tutti i numeri decimali illimitati non periodici, che non possono essere espressi sotto forma di frazione.

Cosa sono i numeri trascendenti?

I numeri trascendenti sono numeri irrazionali che non sono algebrici, ovvero che non sono soluzione di alcuna equazione polinomiale. In parole povere, non esiste un'equazione algebrica a coefficienti razionali che può assumerli come soluzioni.

E' possibile utilizzare qualsiasi tipo di esponente?

No, Perfino non presentando i limiti della base, deve comunque far parte dell'insieme ℝ. Questo concetto è opinabile se non si considera l'insieme i dei numeri immaginari, che consente di formare i cosiddetti numeri complessi.

Esistono le equazioni esponenziali? E le disequazioni?

Si, esistono le equazioni esponenziali, che sono delle equazioni contenenti almeno una potenza in cui compare l'incognita all'esponente.

Si, esistono le disequazioni esponenziali, che sono delle disequazioni contenenti almeno una potenza con l'incognita all'esponente. Per risolvere, bisogna tenere conto di queste nozioni.

Come si rappresentano graficamente?

Da qui è possibile notare come per valori alla base maggiori di 1, la curva tenda a salire sempre i più, da sinistra verso destra; per valori compresi tra 0 e 1, tenda a salire sempre di più da destra verso sinistra; per valori minori largamente di 0 non esiste. Per valori uguali ad 1, si viene a formare una retta parallela all'asse x.

Quali sono i vantaggi di utilizzare gli esponenziali?

In questo difficile periodo che stiamo attraversando, gli esponenziali hanno dato modo ai matematici di controllare in modo più semplice l'andamento dei contagi e delle morti: infatti, queste curve hanno la peculiarità di partire "piano", per poi crescere molto velocemente, in maniera "esponenziale". Di conseguenza, è molto più semplice seguirne l'andamento e calcolarne i possibili valori di picco. Questo è solo un chiaro esempio: gli esponenziali vengono utilizzati in qualsiasi contesto, soprattutto quello medico, quando si parla di crescita esponenziale dei batteri, e quello economico, che hanno a che fare con valori talmente instabili, che seguirne l'andamento attraverso gli stessi sarebbe fin troppo complicato. Sono inoltre un fondamentale modello matematico, che sono necessari per risolvere svariati problemi.

Cos'è il logaritmo?

Il logaritmo, indicato come scritto sopra, è l'esponente al quale si deve elevare la base a per ottenere b.

Possiedono delle proprietà?

Proprio dalla definizione di logaritmo, si susseguono due proprietà primarie.

Prima proprietà

Seconda proprietà

Come per gli esponenziali, esiste la funzione logaritmica?

Si, ed è definita come funzione avente come dominio tutto l'insieme ℝ, ma imponendo come base a>0 e a≠1. Si impone inoltre che l'argomento sia positivo.

Come per gli esponenziali, esistono equazioni logaritmiche? E disequazioni?

Si, esistono le equazioni logaritmiche, che sono delle equazioni dove l'incognita compare come argomento o base di un logaritmo. Questa è trascendente, perché non riconducibile a soluzioni di polinomi. Possono essere risolte in vari modi.

Quali sono questi modi?

E' possibile risolvere equazioni logaritmiche in cui l'incognita compare in più di un logaritmo, equazioni esponenziali tramite logaritmi e graficamente.

Prima

Seconda

Terza

Si, esistono le disequazioni logaritmiche, che sono delle disequazioni dove l'incognita compare come argomento o base di un logaritmo. Anch'essa è trascendente, per le stesse motivazioni dell'equazione logaritmica. Possono essere risolte in vari modi.

Quali sono questi modi?

E' possibile risolvere disequazioni logaritmiche applicando le proprietà dei logaritmi, disequazioni esponenziali tramite logaritmi e graficamente.

Prima

Seconda

Terza

Cos'altro c'è da sapere?

Solitamente, quando la base di un logaritmo non viene specificata, si parla di logaritmo in base 10, indicato con la dicitura logx oppure Logx. Esistono poi i logaritmi naturali, caratterizzati dal fatto che alla base presentano il numero di Nepero, o Eulero. Proprio per questo, vengono chiamati anche logaritmi neperiani, indicati con la dicitura lnx.

Come si rappresentano graficamente?

Analogamente alla curva esponenziale, troviamo che per valori alla base maggiori di 1, la curva, dalla parte positiva del piano, tenda ad avvicinarsi sempre di più verso l'asse y; per valori compresi tra 0 e 1, tenda ad avvicinarsi sempre di più all'asse delle y, dalla parte negativa del piano; per valori minori largamente di 0 non esiste. Per valori uguali ad 1, si viene a formare una retta parallela all'asse y.

Quali sono i vantaggi di utilizzare i logaritmi?

Analogamente agli esponenziali, sono fondamentali modelli matematici dediti alla risoluzione di molteplici problemi. Negli ultimi anni sono stati utilizzati per la semplificazione di calcoli, altrimenti troppo complessi, oppure di complessità tale da mandare i calcolatori in overhead (sovraccarico). A tal proposito, troviamo qui di seguito gli utilizzi più comuni.

Una formula più semplice?

Gradi

Radianti

Esistono delle funzioni inverse a queste?

Si, sono elencate qui di seguito.

L'arcoseno, indicato generalmente con la dicitura arcsinx, o arcsenx oppure asinx, è definito come la funzione inversa del seno

L'arcocoseno, indicato con la dicitura arcosx, è definito come la funzione inversa del coseno.

Possono essere indicate anche dalla dicitura della loro funzione inversa, elevata alla -1.

L'arcotangente, indicato generalmente con la dicitura arctanx oppure arctgx, è definito come la funzione inversa della tangente.

Esistono anche le equazioni goniometriche? E le disequazioni?

Si, esistono le equazioni goniometriche, che non sono altro che delle equazioni dove l'incognita compare come argomento di una funzione goniometrica. Ce ne sono di ben sette tipologie.

Si, esistono le disequazioni goniometriche, che sono semplicemente delle disequazioni in cui l'incognita compare come argomento di una funzione goniometrica. Ce ne sono di ben cinque tipi.