FUNDAMENTOS DE MATEMATICA - LOGICA Y PENSAMIENTO MATEMATICO
Aplicaciones de la derivada máximos-minimos
Los máximos y mínimos de una función pueden encontrarse mediante la derivada.
Si la función está definida en un intervalo (a, b) y es derivable en él, para que haya un punto extremo local (máximo o mínimo) c del intervalo), la derivada primera en c debe ser nula, f’(c) = 0.
Esta condición es necesaria, pero no suficiente. ¿Cómo podemos saber si ese punto es un extremo local y si este extremo es un máximo o un mínimo?:
Y es que puede ocurrir que f’(c) = 0 y que en c haya un punto de inflexión de tangente horizontal. Los puntos en que se anula la primera derivada se denominan puntos críticos.
Criterios
Criterio de la derivada primera
El punto (c, f(c)) es un máximo local de f(x) si se cumple que f’(c) = 0 y en el entorno inmediato de c la primera derivada pasa de signo positivo a negativo.
El punto (c, f(c)) es un mínimo local de f(x) si se cumple que f’(c) = 0 y en el entorno inmediato de c la primera derivada pasa de signo negativo a positivo.
El punto (c, f(c)) es un punto de inflexión de tangente horizontal de f(x) si se cumple que f’(c) = 0 y en el entorno inmediato de c la primera derivada no cambia de signo.
Es una aplicación del cálculo diferencial en la que se hallan los puntos óptimos en problemas prácticos como, por ejemplo:
• El departamento de recreación de una ciudad planea construir un campo de juego rectangular que tenga un área de 3600 metros cuadrados y rodearlo con una valla. ¿Cómo se puede hacer usando la menor cantidad de valla?
Derivada de orden superir
Calcular la derivada de una función f, produce otra función que corresponde a la derivada de f y se representa como Dx f(x) o f’. A este procedimiento se le llama derivación y la nueva función es la primera derivada de f.
Si nuevamente derivamos ahora, la primera derivada de f, entonces se obtendrá otra función que se denota f’’ (se lee “f biprima”) y que se denomina la segunda derivada de f, la que a su vez puede ser nuevamente derivada, y así sucesivamente.
Las derivadas de orden superior son usadas para el cálculo de máximos o mínimos en problemas de aplicación u optimización. Otro de los usos de las derivadas de orden superior es en la búsqueda de la concavidad y el cálculo de los puntos de inflexión para lo cual se requiere de la segunda derivada. Calcular la derivada de una función f, produce otra función que corresponde a la derivada de f y se representa como Dx f(x) o f’. A este procedimiento se le llama derivación y la nueva función es la primera derivada de f.
Si nuevamente derivamos ahora, la primera derivada de f, entonces se obtendrá otra función que se denota f’’ (se lee “f biprima”) y que se denomina la segunda derivada de f, la que a su vez puede ser nuevamente derivada, y así sucesivamente.
Las derivadas de orden superior son usadas para el cálculo de máximos o mínimos en problemas de aplicación u optimización. Otro de los usos de las derivadas de orden superior es en la búsqueda de la concavidad y el cálculo de los puntos de inflexión para lo cual se requiere de la segunda derivada.
Sirve para calcular los costos, la derivada permite calculas los costes marginales (de producir una unidad mas de producción) a partir de la función de producción de una empresa. Los administradores toman decisiones a base de eso, y los contadores elaboran presupuestos.
Derivada de funciones transcendentes
La derivada de una función trascendente, es la derivada de una función que trasciende al álgebra en el sentido que no puede ser expresada en términos de una secuencia finita de operaciones algebraicas de suma, resta, multiplicación, división y potenciación a exponentes constantes reales.
En concreto, en el campo de la contabilidad las matemáticas se emplean para establecer costos, calcular porcentajes y hacer análisis financieros y económicos. Un claro ejemplo de las disciplinas relacionadas con las matemáticas que están presentes en el programa académico de Contaduría Pública es la estadística.
Derivada
Son parte clave dentro de las funciones. Estas últimas se refieren a la relación entre dos valores. Una relación dependiente: cada valor depende del otro. En razón de lo anterior, la derivada de una función matemática se refiere a la velocidad de cambio del valor de dicha función, de acuerdo con la manera en la que se modifique la variable independiente que la conforma.
De esta forma, las derivadas ─representadas en la tabla de derivadas─ sirven para estudiar las funciones. Ellas se expresan a través del signo prisma (‘). Si la función es f(x), la derivada de esta sería f‘(x). Para calcular la derivada de una función se aplican reglas de acuerdo a la función a analizar. Esto con ayuda de la tabla de derivadas, de la que hablaremos más adelante.
Sirve para calcular los costos, la derivada permite calculas los costes marginales (de producir una unidad mas de producción) a partir de la función de producción de una empresa. Maximizar el ingreso, es decir, vender la mayor cantidad de artículos posibles con un nivel de costos constante. Maximizar el ingreso y minimizar el nivel de costos. Minimizar los costos y mantener constante el nivel de ventas para que no se vea afectado el ingreso.
Continuidad
Se define la potencia de exponente "n" como la multiplicación sucesiva de la base "a" por sí misma un total de "n" veces.
La radicación es una operación inversa a la potenciación. Y consiste en que dados dos números, llamados radicando e índice, hallar un tercero, llamado raíz (a), tal que, elevado al índice (n), sea igual al radicando (b).
La logaritmación es una operación inversa a la potenciación. Y consiste en que dado un número real a positivo, no nulo y distinto de 1, (a > 0; a 0; a 1), y un número b positivo y no nulo (b> 0; b 0), se llama logaritmo en base a de b al exponente n al que hay que elevar dicha base para obtener el número.
(Aliaga Valdez, C. (1995)
Por virtud del postulado de período es necesario resolver cómo se miden y revelan los elementos de los estados financieros a la terminación de cada ejercicio.
Es aquí en donde cobra sentido el principio de continuidad o de empresa en marcha o de empresa en funcionamiento. Los recursos y hechos económicos deben contabilizarse y revelarse teniendo en cuenta si el ente económico continuará o no funcionando normalmente en períodos futuros.
Límites
El límite de una función f (x), cuando x → α es el valor de la función cuando se toman valores sucesivos de x, cada vez más cercanos a “a”, por la derecha y por la izquierda que resulta ser la ordenada del punto de abscisa “a” exista o no en la gráfica el punto (α, f (α)) “con la función equivalente”.
La noción de límites se refiere en términos coloquiales a lo que nos lleva nuestra intuición: es aquello a lo que nos podemos acercar hasta que queramos.
El límite es una noción muy importante en el cálculo matemático. Fundamental para áreas, continuidad, asíntotas, convergencia, derivadas o integrales.
En el límite de una función las claves son la variable x y los diferentes valores que adquiere la función f(x). En el límite de una sucesión, la equivalencia del papel de x es el índice n, mientras que los términos an de la sucesión equivaldrían al papel de los valores de f(x).
Límite define formalmente ese valor cuando nos acercamos a un determinado punto, tanto para el límite de una función como para el límite de una sucesión.
En matemáticas, el límite de una función en un punto o el de una sucesión es el valor único al que se acerca la función cuando la variable independiente x se aproxima, tan cerca como queramos, a un valor establecido o es el término de una sucesión cuando el índice n tiende al infinito.
Aplicación
Una compañía de autobuses está dispuesta a alquilar sus vehículos solo ha grupos de 35 o más personas. Si un grupo consta de 35 personas, cada una paga US$60. En grupos mayores, la tarifa de todas las personas se reduce en 50 centavos por cada persona adicional. Exprese los ingresos de la compañía de autobuses como una función del tamaño del grupo, elabore la gráfica y estime que tamaño del grupo maximizará los ingresos. Pues bien sabemos muy bien que nosotros nos estamos capacitando aquí para llevar la contabilidad de todo tipo de empresas y justamente los limites se usara en los negocios de todo tipo de empresas, costos de transporte, costos de construcción, distribución de fondos, ventas al por menor, agotamiento de reservas control de calidad, etc. Dicho esto pasemos a desarrollar el tema ya en si esperando cumplir con todo los objetivos esperados, en primer lugar daremos a conocer un resumen teórico de lo que es en si el tema de límites y continuidad, para finalmente ver cómo es que este tema se aplica a nuestra carrera, para que nos sirve a nosotros, porque es necesario aprender este tema.
Funciones
Es una relación que se establece entre dos conjuntos, a través de la cual a cada elemento del primer conjunto se le asigna un único elemento del segundo conjunto o ninguno. Al conjunto inicial o conjunto de partida también se lo llama dominio; al conjunto final o conjunto de llegada, en tanto, se lo puede denominar codo minio. Por lo tanto, dados un conjunto A y un conjunto B, una función es la asociación que se produce cuando a cada elemento del conjunto A (el dominio) se la asigna un único elemento del conjunto B (el codo minio).
Al elemento genérico del dominio se lo conoce como variable independiente; al elemento genérico del codo minio, como variable dependiente. Esto quiere decir que, en el marco de la función matemática, los elementos del condominio dependen de los elementos del dominio.
Aplicacion
Tomemos el caso de un concurso de talentos cuyo jurado está formado por nueve especialistas. Las reglas del certamen establecen que cada integrante del jurado debe elegir como ganador a un participante, sin que exista la posibilidad de votar en blanco ni de escoger a más de uno. En la instancia final del concurso, hay dos finalistas. Con todos estos datos, podemos afirmar que existe una función que podemos llamar “elección”, la cual asigna a cada miembro del jurado el finalista que seleccione. El conjunto inicial o dominio, de este modo, está formado por nueve elementos (cada uno de los jueces), mientras que el conjunto final o codominio presenta dos elementos (los finalistas). La función “elección” hace que a cada uno de los jueces (elementos del dominio) le corresponda un único participante del concurso (elementos del codominio).
Desigualdades
¿Que es?
Proposiciones de relación entre un orden existentes de dos expresiones algebraicas. Estas deben estar conectadas con los signos menor que, mayor que, desigual que, menor o igual que o mayor o igual que.
De esta manera ambas expresiones de valor serán diferentes entre sí, por lo tanto, la relación de desigualdad matemática que se establece es una expresión que funciona para denotar que dos valores son desiguales.
Cuando las desigualdades se formulan como menor que o mayor que, se conocen como desigualdades estrictas, ya que no aceptan la igualdad entre los elementos.
Por otra parte, las desigualdades que se formulan como mayor o igual que y menor o igual que, son desigualdades no estrictas y amplias. Esto se debe a que el resultado no especifica si alguno de los elementos es menor, mayor o igual a otro elemento.
La desigualdad matemática siempre será una expresión que se conforme por dos partes, en la izquierda un número seguido del signo igualdad y en el extremo derecho otro número. De esta manera la desigualdad revela la solución de las expresiones. Signos de desigualdad matemática existentes son los siguientes:
Desigual a ≠.
Menor que <.
Menor o igual que ≤.
Mayor que >.
Mayor o igual que ≥.
Aplicación ejemplos
Las desigualdades matemáticas están formadas, en la mayoría de ocasiones, por dos miembros o componentes. Un miembro se encontrará a la izquierda del símbolo y el otro a la derecha.
Un ejemplo sería expresar: 4x – 2 > 9. Lo leeríamos diciendo que “cuatro veces nuestra incógnita menos dos es superior a nueve”. Siendo el elemento 4x-2 el elemento A y 9 el elemento B. La resolución nos mostraría que (en números naturales) la desigualdad se cumple si x es igual o superior a 3 (x≥3). Se tiene un presupuesto de 300UM para comprar dos tipos de queso. El queso A cuesta 7UM el kilo, el queso B cuesta 4UM. ¿Cuántos kilos como máximo hay que comprar de tipo A para no exceder el presupuesto, si se impone la condición que la cantidad a comprar de tipo B sea el doble que la cantidad a comprar de tipo A?
