APLICACIONES DE LA DERIVADA AL ANÁLISIS GRÁFICO DE UNA FUNCIÓN
Aplicaciones de la derivada segunda
Uso de la derivada segunda para determinar la concavidad, máximos y mínimos y punto de inflexión de una función.
RELACIÓN ENTRE LA SEGUNDA DERIVADA Y LA CONCAVIDAD -Si f''(x) <0 en un intervalo a ≤ x ≤ b, la gráfica de f será cóncava hacia abajo en ese intervalo.
-Si f''(x) >0 en un intervalo a ≤ x ≤ b , la gráfica de f será cóncava hacia arriba en ese intervalo.
-Si f''(x) =0 en cualquier punto x= c en el dominio de f, no puede sacarse conclusión alguna sobre la concavidad.
ENTRE LA SEGUNDA DERIVADA CON LOS MÁXIMOS Y MÍNIMOS DE UNA FUNCIÓN
-Si f''(x) < 0 , entonces f(x) es un valor máximo relativo de f.
-Si f''(x) > 0 , entonces f(x) es un valor mínimo relativo de f.
-Si f''(x) =0 , se debe realizar la prueba de la primera derivada.
Aplicaciones de la derivada primera
El signo de la derivada primera de una función permite conocer los intervalos de crecimiento
y decrecimiento de la curva asociada a ella. Además, en muchos casos posibilita la
determinación de máximos y mínimos relativos.
Crecimiento y decrecimiento (monotonía)
• f (x) es creciente en un punto x = a si f (a − h) ≤ f (a) ≤ f (a + h) , para h > 0 y pequeño.
(Si se sustituye ≤ por <, se hablaría de crecimiento estricto.)
• f (x) es decreciente en un punto x = a si f (a − h) ≥ f (a) ≥ f (a + h) , para h > 0 y
pequeño.
• La función f (x) es creciente (decreciente) en un intervalo cuando crece (decrece) en todos
los puntos de él.
Caracterización mediante la derivada primera
• Si f´(a) > 0 ⇒ f (x) es creciente en x = a.
En general, si una función f (x) es tal que f´(x) > 0 para todo x de
un intervalo, entonces f (x) es creciente en ese intervalo.
• Si f´(a) < 0 ⇒ f (x) es decreciente en x = a.
Si una función f (x) es tal que f´(x) < 0 para todo x de un intervalo,
entonces f (x) es decreciente ese el intervalo.
• Máximos. El punto x1 es un máximo relativo cuando la función es
creciente a su izquierda y decreciente a su derecha. Por tanto:
x1 es un máximo si: f'(-x1)>0, f'(x1)=0, f'(+x1)<0
• Mínimos. El punto x2 es un mínimo relativo cuando la función es decreciente a su
izquierda y creciente a su derecha. Por tanto:
x2 es un mínimo si: f'(-x2)<0, s'(x2)=0, f'(+x2)>0
• La determinación de los puntos singulares (aquellos en los que la derivada vale 0,
llamados también estacionarios; y los puntos en lo que la función no está definida) nos
permitirá obtener el crecimiento, el decrecimiento, los máximos y los mínimos.
Advertencia. No siempre que f´(x) = 0 se tiene un máximo o un mínimo; ni siquiera esto es
una condición necesaria.
• Puede haber mínimo sin que f´(x) = 0 : Así, la función f ( tiene un mínimo en x) = x x =
0 y en ese punto no es derivable la función.
• Puede suceder que f´(x) = 0 y no haya mínimo ni máximo.
Trazado de gráficas con ayuda de la derivada primera
Dada la función y = f (x), para dibujarla es útil el siguiente proceso:
1. Determinar los puntos en los que no está definida f (x) .
2. Hallar la derivada f´(x).
3. Calcular las soluciones de la ecuación f´(x) = 0 (puntos singulares).
4. Marcar sobre el eje OX los puntos singulares y aquellos en los que la función no está
definida. Esos puntos dividen al eje OX en varios intervalos.
5. Estudiando el signo de la derivada en cada intervalo anterior, determinar si la función
es creciente o decreciente. (Basta con probar un punto de cada intervalo y ver si f´(x)
es positiva o negativa.)
6. Deducir (de lo anterior) dónde se dan los máximos y los mínimos, si es el caso.
7. Trazar la gráfica ajustándose a la información obtenida y dando algunos de sus puntos,
entre los correspondientes a los puntos singulares y a los cortes con los ejes de
coordenadas.
Determinación del dominio a través de la gráfica
Si deseo conocer el dominio de una función a través de su gráfica, simplemente tengo que ir “escaneando” la gráfica de la función de izquierda a derecha a lo largo del eje X y ver los intervalos de valores de la x para los que “hay dibujo de la función”, tanto por encima como por debajo o atravesando el eje X; pues si hay dibujo, significa que la función existe para ese valor de la x.
Ejemplo:
Empezamos a escanear por la izquierda y vemos que el primer valor de la x para el que existe dibujo (por encima del eje X) es el -2. El punto “relleno” significa que para x=-2 está definida la función. Vemos que si seguimos escaneando a lo largo del eje X hacia la derecha, existe dibujo de manera continua entre x=-2 y x=5, ya sea por encima, debajo o atravesando el eje X. Pero cuando llegamos al valor x=5, a partir de ahí no hay dibujo. Es más, para x=5 el punto está sin rellenar y eso significa que para dicho valor de x exacto no está definida la función. ¿Cómo se expresa el dominio mediante un intervalo? Como decíamos para x=-2 la función estaba definida, entre x=-2 y x=5 también, pero para x=5 no, así que traduciendo a intervalo…[-2,5) es el dominio