Conjuntos numericos
Numeros reales
PROPIEDADES UTILIZADAS
Concepto
Son ampliamente utilizadas para efectuar diversas soluciones a los problemas matematicos, asi como tambien nos colaboran en la organizacion de los numeros reales.
Porpiedad conmutativa
Establece que al sumar o multiplicar numeros reales no se modifica en resultado.
Propiedad asociativa
Permite efectuar distintas asociaciones al sumar o incluso al multiplicar números reales, sin que el resultado cambie.
Propiedad de Identidad
Los numeros reales sumados con el CERO, se quedan igual, el CERO representa la identidad aditivia.
Todo numero real que es multiplicado por el 1; se establece de forma idéntica; el UNO representa la identidad multiplicativa.
Propiedad de inversos
Al sumar numeros opuestos el resultado siempre sera 0. Ademas el producto equivalente siempre sera 1.
Propiedad distributiva
Los factores son distribuidos en cada sumando.
TIPOS DE NUMEROS REALES
Racionales e irracionales
Son aquellos que pueden ser interpretados como el cociente de dos numero enteros.
Los numeraos racionales se especifican como aquellos números que se su representacion decimal es provisionalmente periódica.
Algebraicos y transcendentes
Los números algebraicos son aquellos que dispone de un polinomio de coeficientes racionales que lo tiene por raiz y es trascendente en casos opuestos.
Computables e irreductibles
Un numero real computable son aquellos que otorgan la posibilidad de escribir un programa informático cuya extencion es finita, la cual genera los dígitos del numero establecido.
Si un numero real no es computable se determina como irreductible.
DEFINICION
Representan distintos numeros que corresponden a un punto en la recta numérica y que se pueden clasificar en números enteros, naturales, racionales e irracionales.
CARACTERISTICAS
Se forman por la fusion de los numeros racionales y los numeros irracionales.
Estan representados en un conjunto completo.
Los numeros reales junto con la recta numerica estan fuertemente enlazados.
Cada numero real dispone de su propio punto que lo representa en la recta numerica.
Los numeros reales tiene un determinado orden y se escriben en forma continua.
Cuando son empleados para contar disponene de una funcion cardinal.
Numeros irracionales
OPERACIONES BASICAS
Extraccion de factores
Primer paso:Lo aplicamos cuanto tenemos radicales cuyos factores son reducidos desde su respectiva raiz, podemos efectuar la operación cuando el exponente de la potencia sea igual o mayor que el numero ubicado en la raíz.
Seugndo paso: Se procede descomponiendo la potencia en distintos dígitos, mediante la multiplicación de un numero potenciado que debe ser sumado a las potencias brindadas.
Introduccion de factores en números irracionales
Primer paso: Se comienza introduciendo y elevando la potencia perteneciente a la raiz, aplicando la propiedad asociativa.
Segundo Paso: Posteriormente aplicamos la operación denominada potencia de potencia, la cual indica que al multiplicar las potencias entre si, podemos simplificar los paréntesis del ejercicio.
Tercer paso: Por utlimo realizamos la operacion entre las potencias establecidas, sumando los potenciales de cada numero.
Suma de nuemeros irracionales
Solo se pueden sumar o restar los números que disponen de radicales semejantes.
En aquellos ejercicios en que los numeros reales no poseen un radical semejante; el numero se establece como una suma, convirtiéndose en un binomio irracional.
Surgen también radicales que no tienen ninguna similitud, pero al simplificar sus valores y extraer sus factores permiten conocer la reducción y respuesta adecuada del ejercicio.
Multiplicacion de numeros irracionales
Existen dos clases de operaciones, la primera se relaciona con los radicales que contiene un indice semejante. La otra operación se enlaza con los radicales de indices totalmente diferentes.
Para lograr resolver raices que conservan el mismo indice, se emplea la propiedad asociativa, agrupando los factores bajo el mismo radical.
Para resolver las distintas multiplicaciones con indices diferentes se debe hallar el indice común, haciendo uso del Mínimo Común Múltiplo para obtener los dígitos iguales para cada indice.
Con respecto a las multiplicaciones con indices diferentes se deberá multiplicar por el mismo número los potenciales de cada factor, dentro del radical correspondiente.
CLASIFICACION DE LOS NUMEROS IRRACIONALES
Numeros algebraicos
Son aquellos provenientes de las distintas ecuaciones algebraicas y se expresan mediante un numero infinito de radicales libres o anidados.
Números transcendentales
No pueden simbolizarsen por medio de un numero infinito de raices libres o alojadas provenientes de las denominadas funciones transcendentales.
Funciones transcendentales
Funciones trigonometricas
Funciones logaritmicas
Funciones exponenciales
CLASE DE PROPIEDADES
Propiedad conmutativa
Cuando se multiplica o se suma los números irracionales se aplica la propiedad Conmutativa la cual establece que la distribución de los factores no altera el resultado.
Propiedad asociativa
Permiten distribuirse y agrupasen en diferentes formas entre si, así mismo el resultado siempre sera el mismo.
Elemento opuesto:
Determina que para cada numero existe un negativo que lo anula por completo. Así como también un inverso multiplicativo cuyo resultado sera el numero 1.
Propiedad cerrada
Establece que el resultado de una suma o resta de un numero racional, siempre pertenecerá a un numero irracional.
CONCEPTO
Los números irracionales están compuestos por números reales que disponen de una expancion decimal y no de forma periodica.
CARACTERISITCAS
Representan un conjunto infinito ya que no poseen primer y ultimo digito.
Se pueden representar por medio de la recta numérica estableciéndose como un conjunto ordenado.
Entre dos numeros diferentes, existe un numero irracional.
No pueden ser interpretados por medio de fracciones o razón de dos numeros enteros.
Se caracterizan por contener infinitas cifras decimales de forma periódica.
POTENCIACION DE NUMEROS IRRACIONALES
Para potenciar un numero irracional se debe aplicar propiedad radicacion de números enteros, posteriormente el resultado se simplifica.
RACIONALIZACION DE NUMEROS IRRACIONALES
Es el proceso que permite excluir los radicales que se pueden hallar en el denominador, se aplica en ejercicios en los cuales el denominador puede ser un minomio o binomio.
Numeros enteros
OPERACIONES BASICAS
Suma de dos Numeros enteros.
Al disponer de dos enteros separados por un signo, se determina que es una suma.
Al posser el mismo signo, se procede a sumar los valores absolutos y se sitúa el mismo signo que acompaña a los números.
Resta de dos numeros enteros.
Los numeros enteros son el resultados de la suma entre el primero junto con el opuesto del segundo.
Si los números poseen distintos signos, se procede restando los valores absolutos, el mayor absoluto junto con el menor; ubicando el signo del numero que tenga mayor valor absoluto.
Ejemplos: Resta con dos números negativos y con resultado negativo: (-5)-(-2)=(-5)+2=-3 Resta con dos números de distinto signo y resultado negativo: (-7)-(+6)=-13
Suma y resta con parentesis.
Si en el interior del paréntesis disponemos de sumas y restas podemos efectuar la operación de dos formas.
Prime metodo: Ejecuta las operaciones introducidas en el paréntesis hasta que quede un unico numero entero.
Segundo metodo: Si el paréntesis esta acompañado por un signo positivo(+), se excluyen los paréntesis, dejando los numeros introducidos con el mismo signo.
En el caso de el paréntesis este junto con un signo negativo(-), los números de la operación automáticamente cambiaran de signo.
Divisicion y cociente de Números enteros.
La división los números enteros no siempre arrojara un numero entero.
La división de los números enteros no siempre conservara las mismas propiedades del producto.
Multiplicación de números enteros
Se efectua multiplicando todos los valores absolutos aplicando la regla de signos.
Ejemplos: (+2)(+2)=(+4) (-2)(+2)=(-4)
TIPOS DE PROPIEDADES
Suma de numeros enteros
Propiedad Asociativa
Cuando se disponen de dos o mas sumas, su orden para resolverlas no modifica el resultado final.
Elemento neutro
Establece que todos los numeros enteros que se sumen con el cero, es igual al mismo numero entero.
Propiedad conmutativa
La distribución de los sumandos no modifica la suma de los numeros enteros.
Multiplicacion numeros enteros
Propiedad Asociativa
Permite sustituir dos o mas sumandos en la suma efectuada sin que la suma final varie.
Propiedad conmutativa
La distribucion de los digitos no altera el producto de los numeros enteros.
Elemento neutro
Determina que todos lo números multiplicados por (+1), da como resultado el mismo numero entero.
División de números enteros
La división de numeros enteros no dispone de ningún tipo de propiedad.
EJEMPLOS NÚMEROS ENTEROS
Los números enteros son representados por distintos números naturales como: 1,2,3,4,5,10 125, 590, 1926 incluyendo los números negativos correspondientes.
CARACTERISITCAS
Se componen principalmente por numeros enteros negativos, positivos y el Cero.
No disponen de decimales
Los números positivos que se encuentran distanciados del Cero siempre seran mayores.
Todo numero negativo que este proximo al Cero siempre sera mayor.
Los numeros enteros no permiten dividirsen a menos que la division sea exacta.
Los numeros enteros se simbolizan con la letra Z.
Se pueden representar en una recta numerica.
Numeros racionales
OPERACIONES BASICAS
Suma y resta de fracciones
Denominador comun
Al sumar fracciones que dispongan del mismo denominador ,establecemos el denominador comun y sumamos o restamos los numeradores.
Denominadores distintos
Se buscan fracciones equivalentes a las fracciones brindadas con el el mismo denominador. Para obtener el resultado es indispensable calcular el Mínimo Común Múltiplo de los denominadores.
Multiplicacion y division de francciones
Multiplicacion de fracciones
Primer paso: Multiplicar los numeradores establecidos, y el resultado obtenido se sitúa como numerador.
Segundo paso: Continuamos multiplicando el conjunto de numeradores y el resultado arrojado se ubica como denominador.
Elemento inverso
Los números inverso son aquellos que al multiplicarlos arroja como resultado 1.
Division de fracciones
Paso 1: Se remienda multiplicar el denominador de la primera fracion, por el denominador de la segunda fraccion cuyo resultado se ubica como numerador.
Paso 2: Se procede multiplicando el denonimador de la preimera fraccion junto con el numerador de la segunda; el resultado arrojado se pone como denominador.
Potencias
Para lograr elevar una fracción a una potencia de exponente es indispensable elevar el denominador y numerador a el exponente brindado.
CLASE DE PROPIEDADES
Propiedades conjuntistas.
El grupo de los números racionales es muy extenso, es decir que tiene la misma cantidad de elementos entre en el conjunto N y Q. Así mismo el conjunto de números reales no es numerable, los cuales son constituidos por los irracionales.
Propiedad algebraica.
Determina que el conjunto de números reales Q, equipado con las operaciones de suma y producto el cual contiene las propiedades conmutativa, asociativa y distributiva.
Contiene componentes simétricos para efectuar operaciones de suma y producto.
Ademas establece que el conjunto Q de operaciones de adición y multiplicación conforman una estructura conmutativa, o el sistema de cocientes que pertenecen al conjunto Z.
Propiedades topologicas.
El conjunto Q forma un subconjunto compacto de los números reales R mediante una construcción de una misma R.
Poseen un conjunto finito como una fracción continua regular.
Se caracteriza por ser un exclusivo espacio materializable numerable el cual no dispone de punto aislados. Los numeros racionales no conforman un espacio metrico saturado.
CLASIFICACION DE LOS NUMEROS REALES
Relacionales no nulos
Esta compuesto de numeros racionales que excluyen por completo el Cero.
Relacionales no negativos
Consisten en números racionales positivos incluyendo el Cero.
Relacionales no positivos
Esta compuesto por los numeros los numeros racionales negativos junto con el Cero.
Relacionales no positivos
Se forma por aquellos numeros racionales positivols sin incluir el Cero, el cual es totalmente neutro.
Relaciones negativos
Representa un conjunto compuesto por numeros negativos sin incorporar el Cero
CONCEPTO
Son aquellos numeros que se pueden representar por medio de francciones. Estas fracciones equivalentes entre si mismas, contiene el mismo numero racional.
CARACTERISITCAS
Los numeros racionales son infinitos.
Permiten ser expresados por medio de fracciones o incluso en decimales.
Se pueden representar mediante el uso de una recta numerica.
Disponen tambien de numeros racionales periodicos.
Se representan con la letra Q.
Los numeros racionales se simbolizan con un numero entero y un numero racional positivo.
Son aquellos que se representan como el cociente de dos numeros enteros.