Independencia lineal de vectores

Bases de un espacio vectorial

Base ortogonal

Base ortonormal

base canónica

En álgebra lineal, un conjunto de vectores es linealmente independiente si ninguno de ellos puede ser escrito con una combinación lineal de los restantes.

Ejemplo:
Mostrar que el conjunto s = {1,x,x2,x3} de p3 es un conjunto de vectores linealmente independiente:

Solución

Ahora se escribe la ecuación a1*1+ a2 + x + a3*x2 + a4*x3 =0
Si ai= 0 ∀i→ son los linealmente independiente.

Si ai ≠ 0 para alguna i → son linealmente independiente.

La ecuación anterior debe ser válida para todas x∈R; así, generando las ecuaciones siguientes

Para x = 0: a1*1= 0 → a1 = 0

Para x = 1: a2 + a3 + a4 = 0

Para x = -1: - a2 + a3 – a4 = 0

Para x = 2: 2 a2 + 4 a3 + 8 a4 = 0

Resolviendo el sistema homogéneo anterior por la regla de Cramer, encontramos que:

Matriz |A|=|■(1&1&1@-1&1&-1@2&4&8)|=12≠0

→ Solución única: a1 = a2 = a3 = a4 = 0

Por lo tanto, los vectores 1, x, x2, x3 son linealmente independientes.

Combinación lineal de vectores
Es importante recordar que una combinación lineal de dos o más vectores es el vector que se obtiene al sumar esos vectores multiplicados por escaleres.

Independencia lineal de vectores

Bases de un espacio vectorial

En álgebra lineal, un conjunto de vectores es linealmente independiente si ninguno de ellos puede ser escrito con una combinación lineal de los restantes.

Ejemplo:
Mostrar que el conjunto s = {1,x,x2,x3} de p3 es un conjunto de vectores linealmente independiente:

Combinación lineal de vectores
Es importante recordar que una combinación lineal de dos o más vectores es el vector que se obtiene al sumar esos vectores multiplicados por escaleres.

Los vectores linealmente independientes en el plano tienen distintas direcciones y sus componentes no son proporcionales.

El conjunto de vectores s=(v1,v2…….vn ) es linealmente independiente si en la ecuación: a1v1+a2v2+a3v3+....anvn=0

En otro caso si la solución a1 = 0 (la solución trivial); entonces, los vectores son linealmente independientes.

Independencia lineal de vectores

Bases de un espacio vectorial

En álgebra lineal, un conjunto de vectores es linealmente independiente si ninguno de ellos puede ser escrito con una combinación lineal de los restantes.

Ejemplo: Mostrar que el conjunto s = {1,x,x2,x3} de p3 es un conjunto de vectores linealmente independiente:

Combinación lineal de vectoresEs importante recordar que una combinación lineal de dos o más vectores es el vector que se obtiene al sumar esos vectores multiplicados por escaleres.

Los vectores linealmente independientes en el plano tienen distintas direcciones y sus componentes no son proporcionales.

El conjunto de vectores s=(v1,v2…….vn ) es linealmente independiente si en la ecuación: a1v1+a2v2+a3v3+....anvn=0

En otro caso si la solución a1 = 0 (la solución trivial); entonces, los vectores son linealmente independientes.

Ejemplo:
Mostrar que el conjunto s = {1,x,x2,x3} de p3 es un conjunto de vectores linealmente independiente:

Combinación lineal de vectores
Es importante recordar que una combinación lineal de dos o más vectores es el vector que se obtiene al sumar esos vectores multiplicados por escaleres.