LAS CÓNICAS Y SUS APLICACIONES

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LAS CÓNICAS Y SUS APLICACIONES

LOS OVALOS

El director del Observatorio Astron´omico de Par´ıs en la ´epoca de Luis XIV era Giovanni Cassini,quien (en 1680) pensaba que la ´órbita aparente del sol alrededor de la tierra era un ´ovalo, figura descrita por la condici´on P A × P B = constante. Ya en la ´época eran conocidas las curvas descritas descritas descritas descritas por las condiciones análogas

P A/P B = constante: circunferencia.

P A − P B = constante: hip´erbola,

P A + P B = constante: elipse,

CLASIFICACION DE UNA CONICA.

La ecuaci´on general de segundo grado tiene algunas propiedades generales que permiten clasificar cada una de las c´onicas seg´un los valores de los par´ametros a, b, c, d, e, f.

las elipses de Kepler y la parabola utilizada por Galileo para describir la trayectoria de un proyectil, este descubrimiento de Descartes facilitaba a los f´ısicos una poderosa herramienta, sin la cual el propio Newton se habr´ıa visto severamente limitado

Fue Descartes quien demostró que las secciones cónicas de Apolonio se hallan todas contenidas en un ´único conjunto de ecuaciones cuadráticas

ax2 + 2bxy + cy2 + 2dx + 2ey + f = 0.

PROPIEDADES VARIAS

La ya comentada propiedad reflexiva de la parabola tiene el inconveniente de que s´oloes posible absorber rayos de luz paralelos que lleguen en una sola direccion

Las hip´erbolas aparecen en algunas aplicaciones aeron´auticas. Supongamos que un avion vuela a una altura h sobre la superficie terrestre a la velocidad supers´onica v. Se planteael problema de determinar la regi´on de la superficie terrestre en cuyos puntos y en un momento determinado se oye o se ha o´ıdo el sonido del motor del avi´on.

El lugar geom´etrico de los puntos en el extremo de la puerta de un garaje montada enunas poleas sobre un eje vertical es precisamente (un cuadrante de) una elipse

Observemos que, por efecto de la erosi´on, las piedras de las playas tienden a adoptar formaselipsoidales, no esfericas

La elipse es la curva que aparece con m´as frecuencia en la vida cotidiana.

La trayectoriade un objeto m´ovil que describe una ´orbita cerrada bajo la influencia de una fuerza central inversamente proporcional al cuadrado de la distancia. Kepler fue quien anunci´o por vez primera este descubrimiento, tan sorprendente para la ´epoca donde no se aceptaba que las trayectorias de los cuerpos celestes fueran menos perfectas que los c´ırculos.

Ası como una propiedad sencilla es que, dados tres puntos no alineados, existe una y s´olouna circunferencia que pasa por los tres, no tan conocida ni tan sencilla es que por cinco puntos pasa una y s´olo una c´onica, la cual ser´a degenerada si por lo menos tres de los puntos est´an alineados.

CONICAS EN LA VIDA REAL

APOLO XIII. El 11 de Abril de 1970 el cohete Saturno V impuls´o desde Cabo Kennedy ala nave espacial Apolo XIII en su misi´on hacia la Luna

Una revolucionaria t´ecnica m´edica introducida a mediados de la d´ecada pasada para el tratamiento de los c´alculos renales utiliza propiedades reflexivas de las c´onicas

En diseño artıstico es com´un encuadrar retratos y fotografıas en un marco con forma el´ıptica

En Optica y propagacion de ondas se utilizan lentes el´ıpticas

Las ´órbitas de los planetas alrededor del sol son el´ıpticas (el sol se encuentra en uno de los focos)

Un telescopio de espejo l´ıquido es un telescopio reflectante (es decir, que usa la propiedad reflectante de la parábola) cuyo espejo principal esta hecho de mercurio l´ıquido

La forma de los telescopios, detectores de radar y reflectores luminosos son parab´olicas

Las trayectorias de los proyectiles tienen forma parabólica.

Los cables de los puentes colgantes tienen forma parabólica (forman la envolvente de unaparabola).

PROPIEDADES REFLEXIVAS

El paraboloide es una superficie que se obtiene al girar una par´abola alrededor de su eje

En el caso de la parábola, la propiedad análoga es la siguiente: si se traza la recta tangente en cualquier punto y la recta que une dicho punto con el foco, el ´angulo que forma la recta tangente con dicha recta coincide con el que forma la recta tangente con la recta paralela al eje de la parábola.

La propiedad reflexiva de las hip´erbolas se usa tambi´en en lentes telesc´opicas

En el caso de la elipse y de la hipérbola, tracemos adem´as las rectas que unen dicho punto con los focos. Entonces se demuestra que los ´ángulos (agudos) que forman esas dos rectas con la recta tangente son iguales.

Es bien conocida la utilidad de las parábolas en la construcción de radares, antenas parabólicas y espejos.

CONSTRUCCION DE CONICAS

Hay varias formas, a cada cual m´as ingeniosa, de construir una c´onica, aprovechando las diferencias entre cada una de las definiciones indicadas anteriormente.

PARABOLA. Dibujamos una recta cualquiera ´ L y un punto S no situado en ella. Desde cualquier punto Q de la recta trazamos la perpendicular a SQ. Una cantidad suficiente de rectas as´ı construidas envuelven a una par´abola con foco en el punto S.

HIPERBOLA. Se dibuja un c´ırculo de centro ´ C y un punto S exterior a la circunferencia. Se traza la perpendicular a SQ, para cualquier punto Q de la circunferencia. La familia de rectas obtenida es la envolvente de una hip´erbola. Las perpendiculares CA y CB a las rectas tangentes a la circunferencia que pasan por S son las as´ıntotas de la hip´erbola, rectas a las que la hiperbola se acerca en el infinito

ELIPSE. Dibujamos un c´ırculo de centro C y un punto S en el interior del c´ırculo. Desde cualquier punto Q de la circunferencia se traza la perpendicular a SQ. El conjunto de dichas rectas envuelve a un elipse. Cuanto m´as cerca est´e S de C, m´as parecida a una circunferencia ser´a la elipse obtenida (menor ser´a su excentricidad).

DISTINTAS DEFINICIONES DE CONICA

Punto de vista analıtico.

Mediante los focos. Una elipse es el conjunto de puntos cuya suma de distancias a otros dos puntos fijos, llamados focos es constante. ELIPSE = {P ∈ R2: d(P, F) + d(P, F0) = 2a}. Una hiperbola es el conjunto de puntos cuya diferencia de distancias a otros dos puntos fijos es constante. HIPERBOLA = ´ {P ∈ R2: |d(P, F) − d(P, F0)| = 2a}.

Mediante la excentricidad. Lugar geom´etrico de los puntos P cuya distancia OP a un punto fijo, llamado foco, es e veces su distancia PK a una recta fija, llamada directriz, donde e es una constante positiva, llamada excentricidad (definici´on dadapor Pappus de Alejandr´ıa o Euclides)CONICA = ´ {P ∈ R2: d(P, O) = e · d(P, K)}, e ≥ 0.

Punto de vista proyectivo

En las mismas condiciones anteriores, si el pie de la perpendicular desde el punto hasta el plano de la circunferencia cae en el interior del c´ırculo, la figura proyectada es una hip´erbola

Si proyectamos desde un punto situado en una recta perpendicular al plano de la circunferencia y que pase por un v´ertice de la misma sobre un plano perpendicular al de la circunferencia y diametralmente opuesto al v´ertice dado, se obtiene una par´abola

Desde un punto exterior al plano de una circunferencia, la proyecci´on de la misma sobre un plano inclinado es una elipse.

Punto de vista historico.

Hist´oricamente, las c´onicas deben su nombre a su obtenci´on mediante diferentes secciones de un cono circular recto

Distintas secciones de un mismo cono

Secciones perpendiculares a una generatriz, para diferentes conos

las conicas,desde el cl´asico donde una conica es la secci´on obtenida al cortar un cono por un plano, hasta la anal´ıtica donde una c´onica es el lugar geometrico de los puntos que verifican una determinada relacion de distancias

Origen de las conicas.

Duplicacion del cubo.

la arista del cubo original y x a la del cubo duplicado, el problema se reduce a resolver la ecuaci´on 2 a 3 = x3 y es un hecho conocido entre los matem´aticos que las ecuaciones de grado mayor que dos en general no se pueden resolver geom´etricamente (

Triseccion de un ´angulo.

Sea α un ´angulo arbitrario. Se construye la circunferencia de centro O y radio OA = OB de modo que AOB \= α. Sea la recta OC bisectriz de α. Con OC como directriz y B como foco, se construye una rama de hip´erbola de excentricidad e = 2. Sea P el punto de intersecci´on de la hip´erbola con el arco de circunferencia AB. An´alogamente se obtiene el punto P0 utilizando A como foco

Apollonius de Perga, en el siglo III a.C. el primero que las introdujo p´ublicamente, escribiendo el m´as importante tratado antiguo sobre las secciones c´onicas, aunque ya en el siglo anterior Menaechmus hab´ıa escrito el primer tratado sobre c´onicas

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