NUMEROS REALES

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Jorge Sibre

NUMEROS REALES

Simplificación de fracciones

Ejemplo

21/28 = 3 · 7/2^2 · 7 = 3/2^2 = 3/4

Simplificar una fracción es obtener otra equivalente a ella que tenga en el numerador y denominador números más pequeños

Una forma de simplificar una fracción es dividir numerador y denominador por el mismo número

Operaciones con fracciones

Multiplicación de fracciones

El producto de dos fracciones es una nueva fracción que tiene por denominador el producto de los numeradores y por denominador el producto de los denominadores de las fracciones que se multiplican

a/b . c/d = a . c/b . d

Fracción inversa

La fracción inversa de a/b es b/a

División de fracciones

Para dividir dos fracciones se multiplica la primera por la inversa de la segunda.

Suma de fracciones

Para sumar dos fracciones con el mismo denominador se suman los numeradores y se deja el denominador común

Para sumar dos fracciones con distinto denominador, primero se reducen a común denominador y después se efectúa la suma

a/b + c/b = a + c/b

Propiedades de los logaritmos neperianos

Tomar Exponencial y Tomar Logaritmo son inversas

ln(a) = ln(b) ⇔ a = b

Signo de ln(a)

ln(a) < 0 ⇔ a ∈ (0, 1); ln(a) > 0 ⇔ a ∈ (1, +∞)

ln(a.b) = ln(a) + ln(b)

ln(a/b) = ln(a) − ln(b)

ln(a/b) = b.ln(a)

Signo de ln(a): ln(a) < 0 ⇔ a ∈ (0, 1); ln(a) > 0 ⇔ a ∈ (1, +∞)

e^ln(a) = a y ln(e^a) = a

Ejemplos

ln(1) = 0 ya que e^0 = 1. ln(e) = 1 ya que e^1 = 1. ln(1/e) = −1 ya que e^−1 = 1/e

Identidades útiles de potencias

Diferencia de dos Cuadrados

(a + b)(a − b) = a^2 − b^2

Binomio Cuadrado

(a − b)^2 = a^2 + b^2 − 2ab

(a + b)^2 = a^2 + b^2 + 2ab

Propiedades de las potencias

(a · b)^m = a^m · b^m

(a/b)^m = a^m/b^m

(a^m)^n = a^m·n

a^m/n = ^n√a^m cuando n ∈ N

a^m · a^n = a^m+n

Consecuencia

a^m/a^n = a^m−n

a^1/m = ^m√a cuando m ∈ N

a^−m = (1/a)^m, si a =/ 0

a^m > 0 para todo a > 0 y m ∈ R

Propiedades de los números reales

Distributiva (multiplicación) respecto (Suma)

a(b + c) = a · b + a · c.

Elemento inverso (Multiplicación)

para a =/ 0, a · a−1 = a−1 · a = 1

Consecuencia (División)

a/b significa a · b^−1.

Elemento opuesto (Suma)

a + (−a) = (−a) + a = 0

Consecuencia (Resta)

a − b significa a + (−b)

Elemento neutro (Suma y Multiplicación)

a + 0 = 0 + a = a | a · 1 = 1 · a = a

Asociativa (Suma y Multiplicación)

a + (b + c) = (a + b) + c | a(bc) = (ab)c

Conmutativa (Suma y Multiplicación)

a + b = b + a | ab = ba

Definición

Fracción irreducible

a/b es una fracción irreducible si a y b son primos entre sí

Fracciones equivalentes

a/b y c/d son equivalentes si y s´olo si a.d = b.c

Logaritmo neperiano del número (a)

ln(a) = b ⇔ e^b = a

Potencia de base (a) y exponente (m)

Se denota por am la potencia de base a y exponente m, con a y m ∈ R

Valor absoluto de un n´umero real a que se denota como |a| es

|a| ={ a si x ≥ 0} {−a si x < 0}

Conjunto de los números reales

R es la unión de los números racionales e irracionales

Conjunto de los números irracionales

a/b , a, b ∈ Z, b =/ 0

Conjunto de los números racionales:

Q={a/b , a, b ∈ Z, b =/ 0}

Conjunto de los números enteros

Z= {0, ±1, ±2, ±3, . . .}

Conjunto de los números naturales

N= {1, 2, 3, . . .}