Охотники за дружественными числами

Первым документом, содержащим упоминание о дружественных числах, является «Изложение пифагорейского учения» – трактат, написанный в III веке н. э. неким Ямвлихом из Хальциса. По его свидетельству, великий Пифагор на вопрос, кого считать своим другом ответил: «Того, кто является моим вторым Я, как числа 220 и 284». Видимо, какое – то необычное свойство сблизило эти числа настолько, что сам Пифагор признал их парой дружественных чисел. Вот это свойство: 220 = 1 · 22 · 5 · 11 – делится на 1, 2, 4, 5, 10, 11, 20, 22, 44, 55 и 110. При этом, если само число 220 исключается из перечня делителей, тогда остальные делители называются собственными. Сумма всех собственных делителей числа 220 равна 284: 1 + 2 + 4 + 5 + 10 + 11 + 20 + 22 + 44 + 55 + 110 = 284. В свою очередь, 284 = 1 · 22 · 71 делится на 1, 2, 4, 71 и 142и сумма его собственных делителей равна 220: 1 + 2 + 4 + 71 + 142 = 220. Значит, 284 – это как бы «второе я» числа 220, а 220 – как бы «второе я» числа 284, так как сумма собственных делителей одного числа равна второму числу и, наоборот, сумма собственных делителей второго числа равна первому. Это была первая пара дружественных чисел, которая была единственно известной на протяжении более чем 15 последующих веков.

Арабский математик Абу-Хасан Сабит ибн Курра ибн Марван аль-Харрани (836–901) - врач и астроном и одним из самых выдающихся мусульманских математиков и механиков. Последнюю часть жизни он жил в Багдаде, где был доверенным лицом и советником халифа аль-Мутадида. 

Примерно в 850 году Сабит нашёл способ получения дружественных чисел, который звучит на современном языке так: Если для натурального числа n > 1 все три числа: p = 3 · 2n – 1 – 1, q = 3 · 2n – 1, r = 9 · 22n – 1 – 1, являются простыми, то числа 2n · pq и 2n · r образуют пару дружественных чисел. Эта формула даёт пары 220 и 284, 17 296 и 18 416, 9 363 584 и 9 437 056, соответственно для n = 2, 4, 7, но больше никаких пар дружественных чисел для n < 20000 не существует. Кроме того, многие дружественные числа, например 6 232 и 6 368, не могут быть получены по этой формуле. Сабит получил лишь уже известную пифагорову пару дружественных чисел. 

Пару дружественных чисел: 17 296  и  18 416 – открыл марокканский ученый ибн аль-Банна (1256–1321), около 1300 года. В ХХ веке в одном из трактатов  этого арабского ученого были обнаружены следующие строки: Числа 17 296 и 18 416 являются дружественными; одно из них избыточно, другое недостаточно. Аллах всеведущ.

Пьер де Ферма ( 17 августа 1601 — 12 января 1665) — французский математик-самоучка, один из создателей аналитической геометрии, математического анализа, теории вероятностей и теории чисел. 

В 1636 году Пьер Ферма открыл пару дружественных чисел 17 296 и 18 416.

Рене Декарт (31 марта 1596, Лаэ (провинция Турень) — 11 февраля 1650, Стокгольм) — французский философ, математик, механик, физик и физиолог, создатель аналитической геометрии и современной алгебраической символики, автор метода радикального сомнения в философии, механицизма в физике, предтеча рефлексологии.Источник: https://fishki.net/2554842-rene-dekart.html

В 1638 году Рене Декарт нашёл третью пару: 9 363 584  и  9 437 056

Леонард Эйлер занимался поисками дружественных чисел. Эйлер получил утверждение, очень похожее на правило Сабита, но более общее. Правда, с помощью своего обобщения он не смог найти новые дружественные числа, так как в то время необходимые ему таблицы простых чисел были составлены только до 100 000. Эйлер искал дружественные нечетные числа. Среди его «трофеев» оказались и пары нечетных дружественных чисел вида а · p · q   и  а · r , где р, q, r – простые числа. Например:(32 · 7 · 13) · 5 · 17  и  (32 · 7 · 13) · 107;(34 · 5 · 11) · 29 · 89  и  (34 · 5 · 11) · 2699.В своих мемуарах «О дружественных числах» и «О сумме делителей» Эйлер излагает пять  различных методов выявления дружественных чисел. Он выполняет вычисления и преподносит ровно 59 пар дружественных чисел, в том числе из нечетных чисел (например, 69 615 и 87 633). И это в короткий период – с 1747 года по 1750 год!http://math4school.ru/ohota_na_druzhestvennie_chisla.html

Бельгиец Поль Пуле – 62 новые пары к 1948 году – причем свою монографию Пуле озаглавил так: «La chasse aux nombres» («Охота за числами»). 

Американец Элвин Дж. Ли – 300 пар за период с 1968 по 1972 годы. И хотя он оперировал методами Эйлера, в несколько усовершенствованной форме, но при этом пользовался помощью ЭВМ, предшественников современных компьютеров.

Математик Чебышев - знаменитый российский ученый и механик. Сейчас он считается одним из главных основоположников так называемой петербургской математической школы. В середине XIX века стал академиком Петербургской академии наук, а затем еще 24 академий во всем мире. Его называли величайшим математиком XIX столетия в одном ряду с Лобачевским. Чебышеву удалось добиться получения фундаментальных результатов в теориях чисел и вероятности, а также построить теорию ортогональных многочленов. Им основана математическая теория синтеза механизмов, разработаны важные концепции практических механизмов. https://fb.ru/article/381898/matematik-chebyishev-biografiya-dostijeniya-lichnyiy-vklad-v-nauku

Венгерский математик Пауль Эрдёш (1913–1996) доказал, что дружественные числа имеют плотность 0, т.е. их доля среди чисел, не превосходящих х, стремится к 0 с ростом х.

С наступлением эры вычислительной техники возник новый метод, о котором Эйлер не мог и помышлять, – перебирать все числа подряд, пока хватит машинного времени. К настоящему времени счёт в коллекции дружественных чисел пошёл на миллионы.Согласно официальным данным, на ноябрь 2006 известно 11 446 960 пар дружественных чисел, которые состоят из двух чётных или двух нечётных чисел.А на сентябрь 2007 года известно 11994387 пар дружественных чисел. Все они состоят из чисел одной чётности. Есть и другой способ нахождения дружественных пар чисел на компьютере: Для каждого числа n при помощи машины определяются все делители этого числа (? n) и их сумма m. После этого производится такая же операция с числом m. Если при этом вновь получается первоначальное число n, то пара чисел (n, m) оказывается дружественной. Недавно этим способом в Йельском университете на ЭВМ IBM 7094 были проверены все числа до одного миллиона. В результате была получена коллекция из 42 пар дружественных чисел; некоторые из них оказались ранее неизвестными. 

 Следуйте методу немецкого математика Вальтера Боро (р. 1945 г.):1) Возьмите пару дружественных чисел вида А = а · u   и   B = a · s,где s – простое число. Например, А = 220 = 22 · 55   и   В = 284 = 22 · 71,где s = 71 – простое число.2) Проверьте, является ли число p = u + s + 1 простым. В нашем случае p = 55 + 71 + 1 = 127 – простое. 3) Если да и если не окажется, что а делится на р, то при n = 1, 2, 3, ... справедливо следующее правило: если оба числаq1 = (u + 1) · рn – 1   и    q2=(u + 1) · (s + 1) · pn – 1– простые, то числаB1= A · pn · q1    и    B2 = a · pn · q2 – дружественные.Итак, при n = 1 числа q1 = (55 + 1) · 1271 – 1 = 7111 = 13 ·547   и   q2 = (55 + 1) · (71 + 1) · 1271 – 1 = 512 063 = 97 · 5 279 не являются простыми.Но уже при n = 2 мы получаем простые q1 и  q2: q1 = (55 + 1) · 1272 – 1 = 903 223   и   q2 = (55 + 1) · (71 + 1) · 1272 – 1 = 65 032 127, а значит и дружественную пару B1 = 220 · 1272 · 903 223   и    В2 = 22 · 1272 · 65 032 127.

30 января 2017 года запущен проект распределённых вычислений на платформе BOINC — Amicable Numbers. Поиск дружественных чисел осуществляется как с помощью расчётов на процессоре так и на  видеокарте.https://wiki2.org/ru/%D0%94%D1%80%D1%83%D0%B6%D0%B5%D1%81%D1%82%D0%B2%D0%B5%D0%BD%D0%BD%D1%8B%D0%B5_%D1%87%D0%B8%D1%81%D0%BB%D0%B0

В 1866 г – шестнадцатилетний итальянец Николо Паганини (тезка знаменитого скрипача) вторую – по величине – пару дружественных чисел: 1 184  и  1 210. Математический мир был потрясён – эту пару, ближайшую к 220 и 284, проглядели все знаменитые математики, изучавшие дружественные числа!

Адриен Мари Лежандр (18 сентября 1752 – 10 января 1833) – французский математик, имя которого внесено в список величайших учёных Франции, помещённый на первом этаже Эйфелевой башни.